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1、高中数学竞赛讲义（六）—三角函数一、基础知识定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为止角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2兀弧度。若圆心角的弧长为乙则其弧度数的绝对值2L=r，其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直和坐标平面内，把角u的顶点放在原点，始边与兀轴的正半轴里合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的朋标为（心），到原点的距离为yy-r,则止弦函数
2、sina=r涂弦函数cosQ二尸，1E切函数tana=,余切函数cota=,止割函数seca=X，余割函数esca=y]]定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：加川a=COtG,s帀a=cscd,cosa1sinacosa--------------,cota=----------=secCd.商数关系：加川a二cos◎sin◎；乘积关系：tanaXcos=sinaycotaX222222sina=cosa；平方关系：sina+cosa=1,tana+l=seca,cota+i=csc・定理2诱导公式(I)s加(u+n)—s/7?u,cos(?i+u)=
3、・cosu,tan(Ti+a)=tanu,cot(7i+ci)=cota;(II)sin(-a)=-szna,cos(・a)=cosa,tan(-a)=-tana,cot(-a)=cota;(III)szn(7i-(7T)—-ar9ci)=sma,cos(兀・a)=-cosa、tan=(ii-a)=-tana,cot(兀-a)=-cota;(IV)sin'乙丿=cos（奇变偶不变，符号看象限）。a,定理3止弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xER）的性质如下。•单调区间：在区7T3=sina,tan'=cota纱+护如/2^--,2^+-间L22」上为
4、增函数，在区间•上为减函数，最小止周7T7T期为2兀.奇偶数有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值1,当且仅当43W-㊁时,y7T取最小值・1。对称性：直线W+2均为其对称轴，点(0,0)均为其对称中心,值域为［-1,1］0这里kez.定理4余眩函数的性质，根据图象可得y^osx(x^R)的性质。单调区间：在区间［2軌,2kji-ht］上单调递减，在区间［2kit-Ti,2kn］上单调递增。最小正周期为2兀。奇偶性：偶函数。对仏■+兰/2称性：直线天=心均为其对称轴，点I丿均为其对称中心。有界性：当且仅当天=2加时，y取最大值1;当且仅当x=2kn-T
5、t时，y収最小值-1。值域为卜1，1］。这里k^Z.7V7V7V定理5止切函数的性质：山图象知奇函数y=tanx(x^hr+2)在开区间伽-2，刼+2)上7T为增函数，最小正周期为兀，值域为(・8,+8)，点(R兀，0),伽+2,0)均为其对称中心。定理6两角和与差的基本关系式:cos(a±B)=cosacosP十sinasinB9sin(a±g)=szn(tanQ±tanj8)acosP±cosasinP;tan(a—B)二°十上血°tanQa-j3sina+smB=2sin''cos2,smci-sinB=2sin定理7和差化积与积化和差公式：k2>2t
6、anQ⑷2"(1一曲匕)I2J9cosa-cosB=-2s/«cosa+cosB=2cos'厶丿cos'三丿sinctcos3=2[sm(a+B)+s/7?(a-B儿cosasin3=2[s/7?(a+B)-sm(a-3)J,2cosacosP=2[cos(a+B)+cos(a-P)],smasinP=-2[cos(a+P)-cos(a-P)1.定理8倍角2222公式:s加2a=2sinacosa,cos2a=cos«-sina=2cosa-l=l-2szna,(1+cosa)定理9半角公式:s加(1-COSQ)sina(1-cosor)ta(1+cosa)
7、=(1+COSQ)sinan1-tan2cos^=1+tan2kJl+tan2-12丿定理10万能公式:2tan—I2丿tana=-------------7~.r211—tanJ—I2丿定理11辅助角公式：如果是实数且/+沪工0,则取始边在X轴正半轴，终边经过baasina+bcosa=sz/?(a+3).点（％）的一个角为B,则s帀B=，cosB=J/+沪,对任意的角a.-------=----------=----------=2R定理12正弦定理：在任意ZVIBC中有sin卫sinBsinC，其中°,b,c分别是角4,B,C的对边，R为△ABC外接圆
8、半径。222定理13余弦定理:在任意AABC中有a=
