数学必修一 基础知识、常见结论详解

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1、数学必修一基础知识、常见结论详解一、集合1、理解集合中的有关概念：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性．集合元素的互异性：如：，，求；（2）集合与元素的关系用符号，表示．（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集．（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图．注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合．（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况．如：，如果，求的取值．2、集合间的关

2、系及其运算：（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的；（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；②；；；；③；；（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；3、集合中元素的个数的计算：（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是．（2）中元素的个数的计算公式为：；（3）韦恩图的运用：二、函数1、映射与函数：（1）映射的概念：（2）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个．函数的图象与直线交点的个数为个．

3、2、函数的三要素：，，．相同函数的判断方法：①；②（两点必须同时具备）（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：①，则；②，则；③，则；④如：，则；第4页共4页⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数的定义域是，求的定义域．⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定．如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为．（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆

4、求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；⑥数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．求下列函数的值域：①（2种方法）；②（2种方法）；③（2种方法）；3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言．判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）复合函数法和图像法．应用：比较大小，证明不等式，解不等式．奇偶性：定义：

5、注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系．f(x)－f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0f(x)=－f(-x)f(x)为奇函数．判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解．4、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律．常见图像变化规律：平移变换：y=f(x)→y=f(x+a)，y=f(x)+b，注意：有系数，要先提取系数．如：把函数ｙ＝ｆ(2ｘ)经过　　　　　平移得到函数ｙ＝ｆ(2ｘ＋4)的图象．对称变换：

6、y=f(x)→y=f(－x)，关于ｙ轴对称，y=f(x)→y=－f(x)，关于ｘ轴对称，y=f(x)→y=f

7、x

8、，把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称y=f(x)→y=

9、f(x)

10、把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称．（注意：它是一个偶函数）一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；xOyy=f(x)(2,0)(0,-1)如：的图象如图，作出下列函数图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．5、反函数：（1）定义：（

11、2）函数存在反函数的条件：；（3）互为反函数的定义域与值域的关系：；（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）．（5）互为反函数的图象间的关系：；第4页共4页（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数．如：求下列函数的反函数：；；7、常用的初等函数：（1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：；对称轴方程是；顶点为；两点式：；对称轴方程是；

12、与轴的交点为；顶点式：；对称轴方程是；顶点为；①一元二次函数的单调性：当时：为增函数；为减函数；当时：为增函数；为减函数；②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在