量纲分析与定理

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1、量纲分析与龙定理量纲分析法是与相似原理密切相关的另一通过实验去探索流动规律的重要方法,特别是对那些很难从理论上进行分析的复杂流动，更能显示出该方法的优越性。一、物理方程量纲一致性原则物理量单位的种类叫量纲。例如，小吋、分、秒是时间的不同单位，但这些单位属于同一种类，即皆为时间单位，它们的量纲为T；米、厘米、毫米同属长度单位，它们的量纲为L；吨、千克、克同属质量单位，它们的量纲为M。物理最的最纲分为基木最纲（独立最纲）和导出最纲（非独立最纲）。通常流体力学中取长度、时间和质量的量纲L、T、M为棊本量纲；它们Z屮任何一个量纲都不可能由其余

2、两个基木量纲组合或转换而成。而其他物理量则可以用这三个基木量纲來组合或推导而得到，故称为导出量纲。如流速的量纲LT_,可以用长度和时间两个基本量纲组合而成，所以它属于导出量纲。在•温度有关的流体力学问题中，述要增加温度的虽:纲0为基本量纲。流体力学中常遇到的用基木蜃纲表示的导出最纲有：速度dimv=LT~l，加速度dima=LT~2f密度dimp=MT'3,力dimF=MLT'2,压强dimp=MUXT~2,表面张力dimcr=MT_2,体积模量dim^=A/r,T-2,动力粘度dim“=运动粘度dim^=L2T-1,比定压热容dim

3、Cp=比定容热容dimCY=,气体常数dimR=芒厂®等。白然界屮的一切物理过程都可以用物理方程来表示。任何一个物理方程中各项的最纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是物理方程量纲一致性原则。既然物理方程中各项的量纲相同，那么，用物理方程中的任何一项去通除整个方程，便可将该方程转化为零量纲方程。例如，伯努力方程PS2g每一项的量纲都是L。如果用H去通除整个方程，则该方程便转化为零量纲方程二+亠+丄1HpgH2gH量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，从量纲分析入手，找出流动过程屮的相似准则数，并借助实验找出这些相似

4、准则数之间的函数关系式，即准则方程式。准则方程式就是用相似准则数表示的零量纲物理方程。根据相似原理，可以将准则方程式直接应用到原型及其他相似流动中去。这就是说，用量纲分析法，结合实验研究，不仅町以找出尚无物理方程表示的复杂流动过程的流动规律，而且找出的还是同一类相似流动的普遍规律。因此，量纲分析法是探索流动规律的重要方法。常用的最纲分析法有瑞利法和31定理。二、瑞利法瑞利(Rayleigh)法是用定性物理量xpx2,...,xw的某种幕次之积的函数来表示被决定的物理量y,即y=kx^x^...x^(式1)式屮k为零常量系数，由实验确定

5、勺卫2,…,％为待定指数，根据量纲一致性原则求出。对于变量较少的简单流动，用瑞利法对以方便地直接求出结果；对于变量较多的复杂流动，比如说冇n个变量，由于按照基本量纲只能列出三个代数方程，待定指数便冇口一3个,这样便出现了待定指数的选取问题。这是瑞利法的一个缺点。下面将要讨论的n定理便没冇这方而的缺点，它是改进了的量纲分析法。三、n定理量纲分析法中更为普遍的方法是著名的兀定理，又称泊金汉定理，它是泊金汉(E.Buckingham)于1951年捉出的，应用广泛。兀定理可以表述如下：如果一个物理过程涉及n个物理量和m个基本量纲，则这个物理过

6、程可以用由n个物理量组成的n-m个零量纲量的函数关系式來描述。倘若物理过程的方程式为：F(g兀2,••・,£)=0在这n个物理量中冇m个棊木量纲，n—m个零量纲口J川71{(/=1,2,...,/?-/??)來表示，则该物理方程对以转化为零量纲量的函数关系式，即准则方程式：/…，監_川)=0(式2)式小零量纲量眄可以导出如下：倘若基本量纲是L、T、M三个，则可以从n个物理量屮选取出三个既包含上述基本最纲、又互为独立的最，作为基木量。如果这三个基本量是£_2，£—I，暫，则其他物理最均可用三个基本最的某种幕次与零最纲量卩的乘积来表示，即

7、Xi=©x：：m；(式3)Y.71.=；（式3a）ia：b,ctXn-2Xn-lXn根据物理方程量纲一致性原则便可确定待定指数,从而也就确定了®,由上式口J以看出，零量纲量坷实际上是按照基本量变了（邛2亡嵐）倍的原來的物理量，而其中的S兀都等于1」大1而可以用对应的零最纲最代替基本最以外的物理最，将原物理方程式转化为/（街,龙2,…，監_3，1丄1）=0常数1可以不写入。倘若基本量纲是m个，则转化的零量纲方程式便是（式2）。这样，便把原來冇n个物理量的物理方程式转化成了只冇n—m个零量纲量的准则方程式，变量减少了m个，这给模型实验和

8、实验数据的整理带来很人方便。兀定理中的零量纲量就是和似准则数（包括儿何和似等）。卩的倒数、幕次方，它与任何常数的和、差、乘积，它与另外的零量纲量的和、差、乘积都仍然是零量纲量，是新的相似准则数。在准则方程式（式2）的街4