初级中学数学乘法定律公式

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'初级中学数学乘法定律公式'
+\乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a-b说明:(1)几何解释平方差公式如右图所示:边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。第一种:用正方形的面积公式计算:a2-b2;第二种:将阴影部分拼成一个长方形,这个长方形长为(a+b),宽为(a-b), 它的面积是:(a+b)(a-b)结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一块阴影部分的面积。所以:a2-b2=(a+b)(a-b)。(2)在进行运算时,关键是要观察所给多项式的特点,是否符合平方差公式的形式,即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同,而另一部分只有符合不同,才能够运用平方差公式。平方差公式的a和b,可以表示单项式,也可以表示多项式,还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算,同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式:两个数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的两倍,即(a+b)=a+2ab+b,(a-b)=a-2ab+b这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明:(1)几何解释完全平方(和)公式 如图用多种形式计算右图的面积第一种:把图形当做一个正方形来看,所以 它的面积就是:(a+b)2第二种:把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看,其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以 它的面积就是:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积所以:(a+b)2=a2+2ab+b2(2)几何解释完全平方(差)公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种:把阴影部分当做一个正方形来看,所以 它的面积就是:(a-b)2第二种:把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看,其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是(a-b),宽是b,所以 它的面积就是:结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积所以:(3)在进行运算时,防止出现以下错误:(a+b)=a+b,(a-b)=a-b。要注意符号的处理,不同的处理方法就有不同的解法,注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a和b,可以表示任意的数或代数式,因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘,而可以扩大到两个多项式相乘,但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式,完全平方公式有着广泛的应用,尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用 方法引导 1、乘法公式的基本计算例1 利用平方差公式计算:(1)(3x+5y)(3x-5y);(2)(0.5b+a)(-0.5b+a)(3)(-m+n)(-m-n)难度等级:A  解:(1)(3x+5y)(3x-5y)=(3x)2-(5y)2=9x2-25y2 ↓ ↓ ↓ ↓ (a+b)(a-b)= a2 - b2 (2)(0.5b+a)(-0.5b+a)=(a+0.5b)(a-0.5b)=a2-0.25b2 ↓ ↓ ↓ ↓ (a+b)(a-b) = a2 - b2 (3)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2=m2-n2 ↓ ↓ ↓ ↓ (a+b)(a-b) = a2 - b2【知识体验】仔细观察例题,看出两个多项式之间的相同点和不同点,找到两个多项式的第一项相同,而第二项互为相反数,符合运用平方差公式的条件,利用公式解题,得出结果【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项,相同项就是a,不同项就是b和-b,所以多项式中项的位置颠倒时,可以先调换位置,再运用平方差公式【搭配练习】用平方差公式计算(1)(-0.25x-y)(-0.25x+y)(2)(-2x+3y)(-2x-3y)(3)(2x-5)(2x+5)-(2x+1)(2x-1)例2 利用完全平方公式计算(1)(2a+3)2 (2)(0.5m-0.2n)2 (3)(-2x-3y)2 (4)(1-3x)(3x-1)难度等级:A  解:(1) (a+b)2= a2+ 2ab+ b2 (2) (3)第一种解法: 第二种解法: (a+b)2= a2 +2ab +b2 (4) 【知识体验】仔细观察例题,题目都应该符合完全平方的形式,然后根据公式写出结果。第一步确定首尾,分别平方;第二步确定中间项的系数和符号,得出结论。【解题技巧】第三题给出了两种解法,第二解法实质上是利用了乘方的性质,利用互为相反数的幂可以互相转化,改变了原本的形式,便于后续利用完全平方和的公式写出结果,第一种虽然也可以得出正确结果,但涉及到符号问题较多,容易出现错误。第四题表面上看上去不可以用乘法公式,但仔细观察可以发现,这两个多项式的每一项只有符号不同,其他都相同,那么也可以利用乘方的性质,把式子进行转化,后续得出的就是一个带有负号的完全平方式,但有一点还要注意的是中,应该先按照完全平方公式展开,再去掉负号【搭配练习】利用完全平方公式计算(1) (2)(2) (4)2、简便计算例3 利用平方差公式简便计算(1)103×97 (2)59.8×60.2难度等级:A  解:(1)103×97=(100+3)(100-3)=1002-32=10000-9=9991 (2
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