高等代数精彩教学教案

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1、+-第一章多项式§1数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合中任意两个数作某一种运算的结果都仍在中，就说数集对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集对于加法

2、、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么就称为一个数域.例1所有具有形式的数（其中是任何有理数），构成一个数域.通常用来表示这个数域.例2所有可以表成形式的数组成一数域，其中为任意非负整数，是整数.例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.+-§2一元多项式一、一元多项式定义2设是一非负整数，形式表达式,(1)其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.在多项式（1）中，称为次项，称为次项的系数.以后用或等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定

3、义3如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果，那么称为多项式（1）的首项，称为首项系数，称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式的次数记为.二、多项式的运算设是数域上两个多项式，那么可以写成在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令，那么与的和为+-而与的乘积为其中次项的系数是所以可表成.显然，数域上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出.对于多项式的乘法，可以证明，若，则，并且由以上证明看出，多项式

4、乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1.加法交换律：.2.加法结合律：3.乘法交换律：.4.乘法结合律：5.乘法对加法的分配律：6.乘法消去律：若且，则.+-定义4所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.+-§3整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使(1)成立，其中或者，并且这样

5、的是唯一决定的.带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式.定义5数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式成立.用“”表示整除，用“”表示不能整除.当时，就称为的因式，称为的倍式.当时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.带余除法中必须不为零.但中，可以为零.这时.当时，如，除的商有时也用+-来表示.二、整除的性质1.任一多项式一定整除它自身.2.任一多项式都能整除零多项式0.3.零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4.若，则,其中为非零常数.5.若，则（整除的传递性）.6.若，则,其中是数

6、域上任意的多项式.通常，称为的一个组合.由以上性质可以看出，与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替.最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若，是中两个多项式，是包含的一个较大的数域.当然，，也可以看成是中的多项式.从带余除法可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用去除所得的商式及余式都是一样的.因此，若在中不能整除，则在中，也不能整除.例1证明若，则例2求，使.例3若，则.+-§4多项式的最大公因式一、多项式的最大公因式如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式.定义6设与是中两

7、个多项式.中多项式称为，的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）是与的公因式；2），的公因式全是的因式.例如，对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理如果有等式(1)成立，那么，和，有相同的公因式.定理2对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使.(2)由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，也就是说.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义