1.2 数列的极限 导学-答案

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1.2数列的极限 导学答案一、相关问题 1. 了解我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法,说明这一方法的逼近过程;(参见讲义引例) 2.说明函数与数列之间的关系(参见讲义相关内容)二、相关知识 1. 构造一个数列,从几何上描述数列收敛的过程; 2. 写出数列极限的精确定义.三、练习题 1. 下列说法是否可以作为是数列的极限的定义?为什么?(1) 对,,当时,不等式成立;(2) 对于无穷多个,,当时,不等式成立;(3) 对于任给的,,当时,有无穷多项,使得不等式成立;(4) 对于给定的,不等式恒成立. 解:(1)可以(2)不可以,无穷多个,反例:取(3)不可以,无穷多项,反例:取(4)不可以,反例: 2. 判断数列的收敛性.解:此处考察的是收敛数列与其子数列间的关系.在中取如下两个子列:,即,,即,显然,第一个子列收敛于0,第二个子列收敛于1,因此原数列发散. 3. 用数列极限的定义(语言)证明: (1) (2) 证:(1)对,取,则当时,有 因此,有. (2) 故对,取,则当,均有, 因此有, . 4. 若,证明。反之是否成立? 解:由于,所以,,当,有从而,故有.反之未必成立。 例如,令,则有,但是不存在.四、思考题 1.若和是两个发散数列,它们的和与积是否发散?若其中一个收敛,一个发散,它们的和与积的收敛性又如何? 解:发散数列的和与积都不一定发散,例如 ,,和都是发散数列,但是是收敛于0的收敛数列,是收敛于的收敛数列.若其中一个收敛,一个发散,它们的和必定发散,积不一定收敛,例如和. 2. 说明数列收敛与其子列收敛的关系. 解:若数列是收敛的,则由Cauchy收敛准则,其任意子列一定收敛的,反之,若数列有两个不同的子列收敛于不同的极限,则数列发散.
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