2018年中考数学解法探究专题平行四边形的存在性问题

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2018年中考数学解法探究专题平行四边形的存在性问题【专题解析】考题研究:存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类 问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法 灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地 中考的“热点”。解题攻略:解平行四边形的存在性问题一般分三步:第一步寻找分类标准,第二步画图,第三步计算.难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,可以使解的个数 不重复不遗漏,也可以使计算又好又快.如果已知三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的 有3个点:以已知三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行 线,三条直线两两相交,产生3个交点.如果已知两个定点,一般是把确定的一条线段按照边或对角线分 为两种情况?根据平行四边形的对边平行且相等,灵活运用坐标平移, 可以使得计算过程简便.根据平行四边形的中心对称的性质,灵活运用坐标对称,可以使 得解题简便.解题思路:这类题冃解法的一般思路是:假设存在f推理论证一得出结论。 若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不 存在的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征, 在假设存在性以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能提出了 较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对 我们知识、能力的一次全面的考验。这里我们主要讨论在平面直角坐 标系中平行四边形是否存在的问题。先假设平行四边形存在,并在坐 标系中把平行四边形做出来,再根据平行四边形的性质得岀相应的点 或边的关系,从而得出结论,在作图的时候要注意分类讨论,把所有 的情况考虑进去。例题解析(2017年真题和2017年模拟)1.已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n.(1) 若这个二次函数的图象与x轴交于点A (1, 0),点B (3, 0),求实数m, n的值;(2) 若AABC是有一个内角为30。的直角三角形,ZC为直角,sinA, cosB是方 程x2+mx+n=0的两个根,求实数m, n的值.【考点】HA:抛物线与x轴的交点;T7:解直角三角形.【分析】(1)根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出m、n的值;(2)分ZA=30°或ZB二30。两种情况考虑:当ZA=30°时,求出sinA、cosB的值, 利用根与系数的关系即可求出m、n的值;当ZB=30°时,求出sinA、cosB的值, 利用根与系数的关系即可求出m、n的值.【解答】解:(1)将A (1, 0)、B (3, 0)代入y=x2+mx+n中, (l+nrt-n=O(9+3m+n二0解得:(m=-4 ln=3?I实数 m= - 4、n=3.(2)当ZA=30°时,sinA二cosB二斗,n=2?I m= - 1, n二石;XT当 ZB=30°时,sinA二cosB二半,J2」2「 2 |m= - 13二孑.m= - \行、n二 °综上所述:m= - 1> n二寺或 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= - x2+ax+b交x轴于A (1, 0), B (3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1) 求抛物线y= - x2+ax+b的解析式;(2) 当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3) 在(2)的条件下,求sinZOCB的值.【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H&待定系数法求二次函数解析式;T7: 解直角三角形.【分析】(1)将点A、B代入抛物线y=-x2+ax+b,解得a, b可得解析式;(2) 由C点横坐标为0可得P点横坐标,将P点横坐标代入(1)中抛物线解析 式,易得P点坐标;(3) 由P点的坐标可得C点坐标,由B、C的坐标,利用勾股定理可得BC长,利用sinZOCB二器可得结果. 【解答】解:(1)将点A、B代入抛物线y= - x2+ax+b可得,{ 0=-1?+a+b10= -3 ^+3a+b解得,a=4, b= - 3,???抛物线的解析式为:y= - x2+4x - 3;(2)???点C在y轴上,所以C点横坐标x=O,???点P是线段BC的中点,???点P横坐标Xp二譽号,???点P在抛物线y= - x2+4x - 3上, ??.yp二-窃十4X^?3二寻???点P的坐标为(舟,令;(3) J点P的坐标为(号,寻),点P是线段BC的屮点,???点C的纵坐标为2x|-0=|,3???点C的坐标为(0,?),???sin ZOCB=書与x轴交于A^3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y二爭只■耳3x-两点(点A在点B的左側),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E (4, n)在抛物线上.(1) 求直线AE的解析式;(2) 点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC, PE.当APCE的面积最大 时,连接CD, CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上 的一点,求KM+MN+NK的最小值;(3) 点G是线段CE的中点,将抛物线尸 -妃沿X轴正方向平移得到新抛物线y‘,y经过点D, y的顶点为点F.在新抛物线V的对称轴上,是否 存在一点Q,使得AFGCl为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存 在,请说明理由.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)抛物线的解析式可变形为尸省(x+l) (x?3),从而可得到点A 和点B的坐标,然后再求得点E的坐标,设直线AE的解析式为y二kx+b,将点A 和点E的坐标代入求得k和b的值,从而得到AE的解析式;(2) 设直线CE的解析式为y=mx?忑,将点E的坐标代入求得m的值,从而 得到直线CE的解析式,过点P作PF〃y轴,交CE与点F.设点P的坐标为(x, 省x2 -攀(-體),则点F(X,警X -近),则FP=誓J竽X .由三 角形的面积公式得到AEPC的面积二- 寧+攀,利用二次函数的性质可求 得X的值,从而得到点P的坐标,作点K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、 H交CD和CP与N、M.然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标,当点 0、N、M、H在条直线上时,KM+MN+NK有最小值,最小值二GH;:(3) 由平移后的抛物线经过点D,可得到点F的坐标,利用中点坐标公式可求 得点G的坐标,然后分为QG二FG、QG二QF, FQ二FQ三种情况求解即可. /.A (? 1, 0), B (3, 0).当x=4吋,y= §甞.(-k+b=0|4k+b=^-'.?.E (4,晋j).设直线AE的解析式为y二kx+b,将点A和点E的坐标代入得:解得:k二字,b二爭.???直线AE的解析式为(2)设育线CE的解析式为y=mx -逅,将点E的坐标代入得:4m -需二竽, 解得:
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