2018年中考数学解法探究专题直角三角形的存在性问题

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2018年中考数学解法探究专题直角三角形的存在性问题考题研究: 这类问题主要是已知直角三角形的一边(即直角三角形的两个点确定),求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起,主要 在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力,也是近几年来各市 地对学生能力提高方面的一个考查。解题攻略:解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标 准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾 股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的 直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.在平面直角坐标系中,两点间的距离公式常常用到.怎样画直角三角形的示意图呢?如果已知直角边,那么过直角边的两个端点画垂线,第三个顶点在垂线上;如果已知斜边,那么以斜边为直径画,直角顶点在圆上(不含直径的两个端点).解题类型及其思路:当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究:(1)当动点在直线上运动时,常用的方法是①,②三角形相似,③勾股定理;(2) 当动点在曲线上运动时,情况分类如下,第一当已知点处作直角的方法①,②三角形相似,③勾股定理;第二是当动点处作直角的方法:寻找特殊角 例题解析(2017年真题和2017年模拟)1.如图,在平面直角坐标系中,A, B, C为坐标轴上的三点,且OA=OB二084, 过点A的直线AD交BC于点D,交y轴于点G, AABD的面积为8.过点C作 CE1AD,交AB交于F,垂足为E.(1) 求D点的坐标;(2) 求证:OF二OG;(3) 在第一象限内是否存在点P,使得ACFP为等腰直角三角形?若存在,请求 出点P的坐标,若不存在,请说明理由.2.在AABC中,ZACB二90。,以AB为斜边作等腰直角三角形ABD,且点D与点(2)已知 AC=1, BC=3.① 依题意将图2补全;② 求CD的长;小聪通过观察、实验、提出猜想,与同学们进行交流,通过讨论,形成了求CD长的几种想法:想法止 延长CB,在CB延长线上截取BE=AC,连接DE?要求CD的长,需证明 AACD^ABED, ACDE为等腰直角三角形.想法2:过点D作DH丄BC于点H, DG丄CA,交CA的延长线于点G,要求CD 的长,需证明△ BDH^AADG, ACHD为等腰直角三角形.请参考上面的想法,帮助小聪求出CD的长(一种方法即可).(3)用等式表示线段AC, BC, CD之间的数量关系(直接写出即可).3.已知:RtAABC ZACB=90°, CA=3, CB=4,设 P, Q 分别为 AB 边,CB 边 上的动点,它们同时分别从A, C出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运 动,设P, Q运动的时间为t秒.(1) 求△CPQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式,并求岀S的最大值.(2) t为何值时,ACPCl为直角三角形.(3) ①探索:△CPQ是否可能为正三角形,说明理由.②P, Q两点同吋出发,若点P的运动速度不变,试改变点Q的运动速度,使△ CPQ为正三角形,求出点Q的运动速度和此时的t值.4.学习了线段垂直平分线的性质,我们可引入如下概念.定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.举例:如图1,若PA=PB,则点P为AABC的准外心.此时,点P在线段AB的 上.应用:如图2, CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且ZAPB=90°, 求证:PD二£aB.探究:如图3,已知AABC为直角三角形,斜边AB=5, AC=4,准外心P在边AC 上,试探究PA的长.5.已知:如图,AABC是边长为4cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两 点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是lcm/s,当点P到达点 B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间t (s),解答下列各问题:(1) 求AABC的面积;(2) 当t为何值是,APBCl是直角三角形?(3) 探究:是否存在某一吋刻t,使四边形APQC的面积是AABC面积的八分之 五?如果存在,求出t的值;不存在请说明理由.6.如图,已知二次函数y=-|x2- 4的图象与x轴交于A, B两点,与y轴交于点C, OC的半径为畐,P为OC±一动点.(1) 点B, C的坐标分别为B ( ), C ( );(2) 是否存在点P,使得APBC为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 连接PB,若E为PB的中点,连接0E,则0E的最大值二 ? (备用圉)7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax8.在平面直角坐标系xOy屮,抛物线y二axJbx+2过点A ( - 2, 0), B (2, 2), 与y轴交于点C. 求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式; 若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上,求AACD的周长的最小值; 在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P,使AACP是直角三角形? 若存在直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.+bx+c (a^O)与y轴交与点C (0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4, 0),抛物线的对称轴方程为(1) 求抛物线的解析式;(2) 点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动, 同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其 中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动 时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;(3) 在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存 在,求出t值;若不存在,请说明理由.%5-4?3-2-1 --r>4-3-2-l 01 2 3 4 5>X?1?-2--3 -?4? 5L9.如图,已知抛物线y=ax2+-|o(+c与x轴交于A, B两点,与y轴交于丁 C,且A (2, 0), C (0, - 4),直线I: y二-寺x - 4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+ 春+c上的一动点,过点P作PE丄x轴,垂足为E,交直线I于点F.图(1) 图(2) (1) 求抛物线的解析式;(2) 问:当t为何值时,AAPCi为直角三角形;(3) 过点P作PE〃y轴,交AB于点E,过点Q作QF〃y轴,交抛物线于点F, 连接EF,当EF〃PQ时,求点F的坐标;(4) 设抛物线顶点为M,连接BP, BM, MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q, M为顶点的三角形与以0, B, P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的 值;若不存在,请说明理由.
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