初二数学下勾股定理典型例题2~3星

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1 ?勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变② 根据同一?种图形的血积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4比+ S正方形Eg = S正方形ABCD,4X —+ (Z? - t/)*- = C ,化简可证?方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4x — ab + c2 = 2ab + c2 大正方形面积为 S = (a + b)2 = a2 + lab + b22所以 a2 +b2 = c2 方法三:S梯形=*(a + b) ?((/ + /?), S梯形=+ S^be = 2-^/? + ^c2,化简得证6 ?勾股数③ 用含字母的代数式表示a?组勾股数:n2 -l,2w,n2 +1 ( n>2,刃为正整数);2n 4-1,2/i2 4- 2n,2n2 + 2n 4-1 (兀为正整数)nr - n2+n2 ( m > n, m > 兀为正整数)10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其屮一个叫 做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。题型二:利用勾股定理测量长度例题2如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.A图2例题3如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且FB =丄A3那么ADEF是直角三角形吗? 4为什么?解析:由"=丄人8 可以设 ABMa,那么 BE二CE二2 a, AF二3 a, BF= a,那么在 RtAAFD、RtABEF 和 RtACDE 中, 4分别利用勾股定理求出DF, EF和DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断ADEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下:解:设正方形ABCD的边长为4a,则BE二CE二2 a, AF二3 a, BF二a在 RtACDE 中,DE2=CD2+CE2= (4a)2+(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a, DF~25『 ???△DEF是直角三角形,且ZDEF=90° .注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。题型四:利用勾股定理求线段长度例题4如图4,已知长方形ABCD中AB二8cm,BC二10cm,在边CD上収一点E,将Z\ADE折 叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析:解题Z前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下:解:根据题意得RtAADE^RtAAEF???ZAFE二90° , AF二 10cm, EF二DE图4则 DE二EF二CD—CE二8 — x在RtAABF屮由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即 82+BF=102,在RtAECF中由勾股定理可得:EFNe'+CF2,即(8-x) 2=x2+42.*.64—16x+x2=2+16设 CE=xcm,?: x=3 (cm),即 CE=3 cmBF=6cmACF=BC-BF=10-6=4(cm)例题6有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4. 5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就 自动打开,一个身高1?5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5 米。转化为数学模型,如图6所示,A点表示控制灯,表示人的高度,BC〃MN,BC丄AN当头(B点)距 离A有5米时,求BC的长度。已知AN二4. 5米,所以AC二3米,由勾股定理,可计算BC二4米.即使要走到离 门4米的时候灯刚好打开。题型七:关于翻折问题例1、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm, BC=6cm, E为BC上一点,将矩形纸片 沿AE折廉,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.题型八:关于勾股定理在实际中的应用:例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP二160 米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会 受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受 到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那 么学校受到影响的吋间为多少?题型九:关于最短性问题5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm, A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ?A 20
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