小学数学-速算与巧算

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速算与巧算数学竞赛中，都有一定数量的计算题。计算题一般可以分为两类：一类是基础题，主要考查对基础知识理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目，主要考查灵活、综合运用知识的能力，一般分值在10分到20分之间。这就要求有扎实的基础知识和熟练的技巧。1.速算与巧算主要是运用定律：加法的交换律、结合律，减法的性质，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，除法的性质等。2.除法运算规律：(1)A÷B＝1÷(2)a÷b±c÷b＝(a±c)÷b3.拆项法：(1)(2)(3)(4)(5)(6)将分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数a1和a2，然后分子、分母分别乘以(a1＋a2)，再拆分，最后进行约分。＝＝＝4.等差数列求和： (首项＋末项)×项数÷2＝和5.约分法简算：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式。典例巧解例12007÷2007＝。点拨一被除数是2007，除数是一个带分式，整数部分和分数部分的分子都是2007，我们可以把2007化为假分数，再把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。解2007÷2007＝2007÷＝2007÷＝2007×＝点拨二根据题目特点，如果利用“A÷B＝1÷”，本题就可以避免先将带分数化成假分数后，再相除的一般做法，而采用同数相除商为1的巧办法。解原式＝1÷，＝1÷1＝说明本题“巧”在倒数概念的运用。例2(第五届“希望杯”邀请赛试题) ＝。点拨此题分子可化简去括号变成因数乘积的形式，再约分化简，分母可通过凑整变形化简，问题易解。解＝＝例3计算：。点拨初看题目，分子、分母都是一组有一定规律的数列，可以先分别求出和，再求它们的商，但事实上，求出和的结果是不易做到的。再仔细观察分子、分母，可以发现对应项之间存在一定的规律：3÷1＝×＝2，5÷2＝×＝2，7÷3＝×＝2，…，55÷27＝×＝2，57÷28＝2。这说明分母的总和正好是分子总和的2倍，问题易解。解＝＝说明在计算55÷27时，如果不用常规的办法，先将带分数转化为假分数，而是利用题目中的数据，再经过转化，逆向运用乘法分配律，就更简便。如： 被除数＝55×29＋27＝54×29＋(29＋27)＝2×(27×29)＋2×28＝2×(27×29＋28)，除数＝27×29＋28，仍然可以看出被除数正好是除数的2倍。例4计算：。点拨观察题目可知，要求计算的繁分数的分子与分母都是较为复杂的分数数列，所以不妨分别计算繁分数的分子和分母，然后再计算最后结果。观察繁分数的分子，虽然是一列分母从1开始的分数单位的数列，但分母是偶数的分数单位都是减数，所以，得运用一加一减的技巧来满足等差数列求和的条件。解分子＝＝＝分母＝＝×()原式＝＝2例5计算：。点拨因为＝＝，＝＝…所以本题可以将每一项做适当变形后，用前面的方法使计算简便。解 ＝＝2×()＝2×()＝2×(1－)＝1例6计算：＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋。点拨审题知＋＋＝2，＋＋＋＋＝3，…，＋＋…＋＋＋＝1989，即题的前半部分可变形为2＋3＋4＋…＋1989，应用等差数列求和公式求出。题的后半部分是同分母加法，而且分子是一个等差数列，应用等差数列求和公式，可求出分子相加的结果。解原式＝2＋3＋4＋…＋1989＋＝(2＋1989)×1988÷2＋1991÷2＝1979054＋995.5＝1980049.5例7计算：。点拨可利用拆项和乘法分配律分别将两个加数变形。解第一个加数可变形为＝再应用乘法分配律把此式变形为＝＝1； 第二个加数变形为＝分子、分母都分别含有相同的数，变形为＝。原式＝1＋＝1。例8计算：。点拨可先通过试验的方法找出规律。，，…解＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝＋－＝例9计算：(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋)。点拨可以把1＋＋＋看成一个整体，暂时用字母A来表示这个整体，把＋＋也看成一个整体，用字母B来表示。则A－B＝1。解令A＝1＋＋＋，B＝＋＋，则A－B＝1。(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋)＝A×(B＋)－(A＋)×B ＝A×B＋A－A×B－×B＝(A－B)＝例10计算：。点拨根据＝×[－]，把所有的分数都拆成两个分数之差，中间的分数就可以全部消去，原题可解。解＝×()＋×()＋×()＋…＋×()＝×()＝×()＝×()＝×＝例11计算：。点拨根据每个分数的特点，将所有的分数拆成两个分数之差，化简计算即可。解＝()×＋()×＋…＋ ()×＝×(＋＋…＋)＝×(－)＝×(－)＝×(－)＝×＝例12计算：1＋＋＋＋…＋。点拨可将原式设为S，则计算起来简便。解设S＝1＋＋＋＋…＋则S＝＋＋＋＋…＋S－S＝(1＋＋＋＋…＋)－(＋＋＋＋…＋)，S＝1＋－＋－＋…＋－－S＝1－S＝(1－)×2＝2－＝2－＝1 ∴1＋＋＋＋…＋＝1例13计算：1＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋…＋10。点拨一认真观察可以发现：1－1＝，1－1＝，1－1＝，…，10－9＝，由此可以看出，公差＝，项数n＝(an－a1)÷d＋1，所以n＝(10－1)÷＋1＝37，那么前37项的和，我们就可以根据公式：S＝求出和。解法一观察发现，各个加数能组成公差＝的等差数列，项数n＝(10－1)÷＋1＝37，S＝＝＝203。点拨二如果此题我们从另一个角度观察，把它们每4个数分为一组，则有(1＋1＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(9＋9＋9＋9)＋10。观察每组对应项的特点，我们很容易计算出结果。解法二1＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋…＋10＝(1＋1＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋10＝(1＋2＋3＋…＋9)×4＋(＋＋)×9＋10＝×4＋×9＋10＝180＋13＋10＝203例148.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是多少？点拨本题并未要求这个式子的准确值，只要求其整数部分，所以只要大体估出这个式子的值在哪两个相邻整数之间就行了。如果n是整数而能得出n≤a＜n＋1，那么就能肯定a的整数部分是n。观察这一组数据发现，这组数据与8×1.25＝10 很接近，所以应从此着手进行分析。再仔细观察，发现这个式子中每两个相乘的数都有规律：8.01，8.02，8.03，都逐个增加0.01，而1.24，1.23，1.22，都逐个减少0.01，于是可知8＋1.25＝8.01＋1.24＝8.02＋1.23＝8.03＋1.22，即相乘两数的和相等。两数相加，当其中一个加数增大，另一个加数减小，但其和始终保持固定时，它们二者的积会怎么变化呢？如果另取2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5比较，会发现2×8＝16，3×7＝21，4×6＝24，5×5＝25，即2×8＜3×7＜4×6＜5×5，就是当两个数和固定而两数相差越大时，这两数的积越小。这是否是一般规律呢？设a1＋b1＝a2＋b2＝k，而a1＞a2＞b2＞b1，这时a1与b1相差就比a2与b2的差大(a1－b1＞a2－b1＞a2－b2)。此时a2b2－a1b1＝a2(k－a2)－a1(k－a1)＝a2k－a22－a1k＋a12；＝a12－a22－(a1k－a2k)＝(a1＋a2)(a1－a2)－k(a1－a2)＝(a1－a2)(a1＋a2－k)由于a1＞a2，而且a1＋a2＞a1＋b1＝k，所以a2b2＞a1b1。也就是说：当两数的和一定时，两数相差越大，它们的积就越小。解∵8－1.25＜8.01－1.24＜8.02－1.23＜8.03－1.22，于是8×1.25＞8.01×1.24＞8.02×1.23＞8.03×1.22。而8×1.25＝10，∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＜10×3＝30。但8.03×1.22＞8×1.22＝9.76，∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＞9.76×3＝29.28。答：所求整数部分为29。这就是说该和数在29.28到30之间，于是其整数部分为29。解题技巧速算与巧算，主要应用各种定律和运算性质，利用数和数之间的特殊关系，合理灵活地进行组合与分解、凑整，进行简洁、快速地运算。对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。竞赛能级训练 A级1.计算：＋＋＋＋。答案；10/2312.计算：。100/513.计算：。3200/96034.计算：325.24＋425.24＋625.24＋925.24＋525.24。2826.25.计算：＋(＋)＋(＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)。285B级1.如果把0.000000000025简记为。下面有两个数：a＝，b＝，试求：a＋b，a－b，a×b，a÷b。2.计算：(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×…×(1＋)×(1－)。3.计算：。4.计算：÷。能力测试一、选择题(每题8分，共16分)1.＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝()。A.B.C.2D.2.计算：1－－－－－＝() A.B.C.D.二、简算下列各式(第1题6分，第2题15分，第3题8分，第4题15分)1.(1)4.74＋(1.26－0.77)＝；(2)9.9×9.9＋0.99＝。2.(1)(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)＝；(2)(0.12＋0.22＋0.32＋0.42)2＝；(3)×＝。3.＝。4.不计算，在□中填入“＞”、“＜”或“＝”。(1)0.3÷0.03×0.003÷0.0003□10÷100×1000÷10000。(2)32.7÷0.25＋2.51×10□32.7×4＋2.51÷0.1。(3)282.4÷0.999□282.4×0.999。三、解答题(每题8分，共40分)1.计算：84×1.375＋105×0.9。2.计算：。3.计算：。4.计算：5.在小数点后依次写下整数1，2，3，4，…，998，999得到小数0.1234567891011…999。其中小数点右边第1997个数字是几？