矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析

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'矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析'
第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系;掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析;熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1.误差的基本概念和有效数字1).绝对误差和相对误差的基本概念设实数为某个精确值,为它的一个近似值,则称为近似值的绝对误差,简称为误差. 当时,称为的相对误差.在实际运算中,精确值往往是未知的,所以常把作为的相对误差.2).绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数为某个精确值,为它的一个近似值,如果有常数,使得 称为的绝对误差界,或简称为误差界.称是的相对误差界.此例计算中不难发现,绝对误差界和相对误差界并不是唯一的,但是它们越小,说明近似的程度越好,即的精度越好.3).有效数字设实数为某个精确值,为它的一个近似值,写成 它可以是有限或无限小数的形式,其中是中的一个数字,为整数.如果 则称为的具有位有效数字的近似值.如果有位有效数字,则的相对误差界满足:。4).函数计算的误差估计如果为元函数,自变量的近似值分别为,则其中,所以可以估计到函数值的误差界,近似地有如果令,设的近似值分别为,其误差界为和,取为之间的四则运算,则它们的误差估计为,;;,。数相加或减时,其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.对于两个数作相减运算时,由于其相对误差界:。如果和是两个十分接近的数,即和两个数十分接近,上式表明计算的相对误差会很大,导致计算值的有效数字的位数将会很少。对于两个数作相除运算时,由于其相对误差界:。从关系式中可以看出,如果很小,即很小,计算值的误差可能很大。5).数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则⑴ 算法的数值稳定性:一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之,成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。⑷ 注意简化运算步骤,尽量减少运算次数。⑸ 多个数相加,应把绝对值小的数相加后,再依次与绝对值大的数相加。2.向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来,在某种意义下,这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数,相应地有一类矩阵函数,其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用:一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1)向量范数定义 存在(维实向量空间)上的一个非负实值函数,记为,若该函数满足以下三个条件:即对任意向量和以及任意常数(实数域) (1)非负性 ,并且的充分必要条件为; (2)齐次性; (3)三角不等式. 则称函数为上的一个向量范数.常用三种的向量范数设任意n维向量,(为向量的转置),, 向量的1-范数 , 向量的2-范数 , 向量的-范数 一般情况下,对给定的任意一种向量范数,其加权的范数可以表为,其中W为对角矩阵,其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理 上的任何向量范数均为的连续函数。向量范数的等价性定理 设和为上的任意两种向量范数,则存在两个与向量无关的正常数c1和c2,使得下面的不等式成立 ,其中. 2). 矩阵范数定义 存在(维复矩阵集合)上的一个非负实值函数,记为,对任意的均满足以下条件: (1)非负性:对任意矩阵均有,并且的充分必要条件为;(2)齐次性:,∈;(3)三角不等式:, ;(4)相容性:, ,则称为上的矩阵范数。我们可定义如下的矩阵范数:,矩阵的-范数 ,矩阵的-范数(Frobenius)范数。(矩阵范数与向量范数相容性定义) 对于一种矩阵范数和一种向量范数,如果对任意n×n矩阵和任意n维向量x, 满足,则称矩阵范数与向量范数是相容的。3)矩阵的算子范数定理 已知上的向量范数,为n×n矩阵,定义 则是一种矩阵范数,且与已知的向量范数相容,称之为矩阵的算子范数。三种常用的矩阵的算子范数; (列范数). (行范数) (谱范数)其中表示矩阵的最大特征值。对任何算子范数,单位矩阵的范数为1,即。 可以证明:① 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数;任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数(如从属范数).② 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容(如矩阵范数与向量-范数相容);多种矩阵范数可以与一个向量范数相容(如矩阵范数和矩阵范数与向量范数相容)。③ 从属范数一定与所定义的向量范数相容,但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。(如,与向量、与向量相容,但无从属关系)。④ 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。4)矩阵范数的性质① 设为矩阵空间的一种矩阵范数,则对任意的n阶方阵均有 .       其中为方阵的谱半径。注意:当时,。 ② 对于任给的ε>0, 则存在上的一种算子范数(依赖矩阵和常数ε),使得 . ③ 对于上的一种算子矩阵范数,如果且<1, 则可逆且.二、典型例题分析例1.1:下列近似值的绝对误差限均为0.005,问它们各有几位有效数字?,,解: 现将近似值写成标准形式:, , ,在直接根据有效数字定义得出, ,即有5位有效数字; ,即有1位有效数字; ,即无有效数字。例1.2:已知的相对误差为,求的相对误差。解:此题要利用函数计算的误差估计,即取,,则由,可推出 ,故的相对误差为。例1.3:此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用3位算术运算求在处的值。表中给出了传统的方法的计算的中间结果。在这里我们使用了两种取值法:截断法和舍入法。精确值4.7122.1841104.487 111135.323 0115.0723位数值(截断法)4.7122.1104135
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