统计信号处理(电子版)

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统计信号处理 东南大学信息科学与工程学院 孟桥 参考书目:1)本讲义 2)管致中等 《信号与线性系统》下册 高等教育出版社 3)刘福声 罗鹏飞 《统计信号处理》 国防科技大学出版社 4)沈凤麟等 《信号统计分析与处理》 中国科技大学出版社 5)[美]Steven M.Kay 著 统计信号处理基础--估计与检测理论(中文版)电子工 业出版社 第一章第一章 随机事件与随机变量随机事件与随机变量 $ $ 1.1 概述概述 一、统计信号处理的研究的意义 1 研究的必要性 ? 客观世界中干扰存在的必然性 ? 传输信息的不可预知性 ? 对客观时间认识的局限性 2 研究的方法 应用数理统计手段,提出一系列信号处理的手段和方法,对信号进行处理,完成 工程应用中的任务。 3 应用领域 通信,雷达,声纳,地震,气象,电子仪器,生产,经济,…… 二、统计信号处理的研究的内容 ? 检测:从接受到的信号中,判别是否存在目标信号 ? 估计:从接受到的信号中,估计出有关参数的值 ? 参数估计 ? 频谱估计 ? 。 。 。 。 。 。 ? 滤波:从接受到的信号中,尽可能地排除干扰,恢复有用信息 ? 识别:从接受到的信号中,识别出目标的类型 三、统计信号处理与确定信号处理的区别 ? 研究的信号不同: ? 确定性信号处理研究的信号具有确定的形式; ? 统计信号处理研究的信号的形式不确定,只能用统计特性描述。 ? 研究的目标不同: ? 确定性信号处理研究的系统的响应具有确定的形式, ? 统计信号处理研究的系统的响应的形式不确定,只能用统计特性描述。 ? 分析的方法不同: ? 确定性信号处理可以通过求解微分或差分方程得到, ? 统计信号处理得很多结论只能通过数理统计分析得到 ? 研究的内容不同: ? 由于干扰的存在,统计信号处理担负的任务要比确定性信号处理中的工作复杂 得多,研究的内容也比之广泛。 $ $ 1.2 随随机事件,随机变量与随机过程机事件,随机变量与随机过程 本节的内容是对概率论与数理统计中相关内容得复习 一、随机事件 1、 定义:在一定条件下,可能出现也可能不出现的事件。 几种特殊的事件 ? 必然事件(?)与不可能事件(?) ? 基本事件与复合事件 2、 随机事件的运算 ? 和运算(或运算) :+或 ? 差运算:\ ? 积运算(与运算) :?或 3、 随机事件之间的关系 ? 包含:? ? 等价:= ? 互斥: ! ? 对立:A ? 完备 4、 概率——随机事件出现可能性大小的度量 4.1 定义 1) 古典定义法: 通过等概率基本事件的个数定义 ( ) A P A ? 包含的基本事件数 基本事件的总数 2) 统计定义:根据随机事件在试验中出现的次数 P( ) A A ? 事件在试验中出现的次数 试验的总次数 4.2 概率的性质 1) 0( )1P A?? 2) ( )1P ? ? 3) ( )0P ? ? 4) ()( )( )()P ABP AP BP AB??? 5) 如果AB?,则( )( )P AP B? 6) 如果AB?,则(\)( )( )P B AP BP A?? 7) ( )1( )P AP A? ? 8) 如果事件 i A(1,2,.in?)之间两两互斥,则 11 nn ii ii PAA ?? ?? ? ?? ?? ? 9) 如果事件 i A(1,2,.in?)之间互不相关,则 11 nn ii ii PAA ?? ?? ? ?? ?? ? 10) 条件概率公式 () (|) ( ) P AB P A B P B ?(定义为在 B 事件发生的前提下 A 事件发生的概率) 从这个公式中还可以引出 乘法公式:()(|) ( )(|) ( )P ABP A B P BP B A P A?? 贝叶斯公式: (|) ( ) (|) ( ) P B A P A P A B P B ? 例题:假设在某数字通信系统中,由于传输通道中的干扰,发送‘1’信号而在接收端 误接收到‘0’的概率等于 a,发送‘0’信号而在接收端误接收到‘1’的概率同样等于 a。 发送系统发出‘1’和‘0’的概率个为 50%。现在在接收端接收到的信号为‘1’ ,问在发 送端发出信号是‘1’的概率有多大? 解:以 X 表示发送的数据,Y 表示接收到的数据。 根据题意,已知: ????aXYPXYP??????1|00| 1 ——误码率 或: ????aXYPXYP???????11| 10|0 ——上面这样的概率常常被称为先验概率; 以及: ????5 . 010????XPXP 现在要求出: ??1| 1??YXP?——这种概率被称为后验概率 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ???? a XaPXPa XPa XPXYPXPXYP XPXYP YP YXP YXP ?? ???? ?? ? ??????? ??? ? ? ?? ??? 1 01)1 ( 1)1 ( 00| 111| 1 11| 1 1 1, 1 1| 1 思考: 1、 如果 a 变化,??1| 1??YXP如何变化? 2、 如果??0| 1??XYP和??1|0??XYP不相等,结果如何? 3、 如果系统发送‘1’和‘0’的概率不等,结果又如何? 例题:假设在某种有关病症的医学化验中: A 表示诊断结论呈阳性(结论表明有病) A 表示诊断结论呈阴性(结论表明没有病) B 表示病人有病 B 表示病人没有病 已知:????95. 0||??BAPBAP,? ?005. 0?BP。问:这种化验的有效率 (??ABP|) 是多少? 解: ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ? 087 . 0 995. 0*05 . 0 005. 0*95. 0 95 . 0 *005 . 0 || | , | ? ? ? ? ? ? BPBAPBPBAP BAPBP AP BAP ABP 二、随机变量 2.1 定义:将随机事件用一个实数表示,就构成了随机变量。 ? 随机变量与随机事件之间应该是一一对应的。 ? 随机变量可能直接含有物理意义。 ? 通过随机变量可以扩大随机事件的定义范围,易于定义无穷多的随机事件 连续随机变量:随机变量占有数轴上一个区间中所以可能的数值,其间隔可能 中的任意一个实数都对应于一个随机事件; 离散随机变量:随机变量只可能取数轴上某些间断的点上的值(总数也可能有 无穷多个) 2.2 随机变量的概率分布函数 1) 定义: ( )()F xPx??? 2) 性质: (1) 单调性: 如果ab?, 则( )( )P aP b? (2) lim( )0 x F x ?? ? - ,lim( )1 x F x ? ? ? + (3) 右连续性(0)( )F xF x?? ? 一般文献上用 p 表示概率密度函数,而用 P 表示概率。用 F()来表 示概率的分布(如果 P 是连续的) 。 2.3 随机变量的概率密度函数 1) 定义:( )( ) d p xF x dx ? 2) 性质: (1) ( )0p x ?,xR? ? (2) ( )1pd?? ?? ?? ? ? (3) ( )( ) x F xpd?? ?? ?? (4)
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