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1、线性代数解题方法和技巧第一部分行列式一、行列式的概念(1)二阶与三阶行列式的对角线法则(2)n阶行列式的定义(3)余子式、代数余子式的定义【测试题】四阶行列式中含有aa的项是__________1123二、数字型行列式的计算计算数字型行列式的常见思路有：(1)如果在行列式的某一行（列）中，零的个数比较多，可按该行（列）展开；(2)利用行列式的性质，将行列式某行（列）中尽可能多的元素化为零，然后再按该行（列）展开（课本P.18例7的第二种解法）；(3)三角形法：利用行列式的性质，将给定的行列式化为上（下）三角形行列式（课本P.12例7、例8、例9）；(4
2、)递推法或数学归纳法（课本P.15例11，P.18例12）；(5)利用范德蒙行列式；(6)利用拉普拉斯定理（同济第五版的线性代数没有介绍该定理，不作为期末考试要求）．【测试题】1．计算下列各行列式（D为k阶行列式）：ka1(1)D=B，其中对角线上的元素都是a，未写出的元素都是0；n1axaa?ax?a(2)D=；n@@@aa?x-1-线性代数解题方法和技巧nnnaa(1−−)?()annn−−11n−1aa(1−−)?()an(3)Dn+1=@@@；aa−−1?an11?1abnnBAab11(4)D=，其中未写出的元素都是0．2ncd11ABcdn
3、n3521−1105−2．设D=，D的(,)ij元的余子式和代数余子式依次记作M和A，求ijij−13132413−−−AAAA+++及M+++MMM．1112131411213141ab001100ab223．四阶行列式D=的值等于__________400ba33ba0044(A)aaaa−bbbb；(B)aaaa+bbbb；1234123412341234(C)()aa−−bbaa()bb；(D)()aabbaabb−()−．1212343423231414三、抽象型行列式的计算【测试题】1．设α,,,,ααββ均为4维列向量，且已知4阶行列式1
4、2312αααβ,,,=m，ααβα,,,=n，12311223则4阶行列式αααββ,,,+=__________32112(A)mn+；(B)−+()mn；(C)nm−；(D)mn−．-2-线性代数解题方法和技巧aaa423aaaa−111213111112132．若Daaa==1，则Daaaa=423−=__________212223121212223aaa423aaaa−313233313132331−1**1−3．设A为3阶矩阵，A=，求：(1)(2)AA−3；(2)(3AA)−2．2T4．设A为n阶（实）矩阵，且满足AAE=．如果A<0，
5、求行列式A+E的值．n1111−15．设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为,,,，求行列式B−E的值．2345四、行列式等于零的判定设A为n阶方阵，则与“A=0”等价的说法有：(1)A是奇异矩阵；(2)A是降秩矩阵，即R()An<；(3)n元齐次线性方程组Ax=0有非零解；(4)A的列（行）向量组中至少存在一个列（行）向量可以由其余n−1个列（行）向量线性表示；(5)A的列（行）向量组线性相关；(6)A至少有一个特征值等于零．【测试题】1．设A为n阶矩阵，且A=0，则下列各选项中正确的是__________(A)A中必有一列（行）的元素全等于零；(B)A
6、中必有两列（行）的元素对应成比例；(C)A的列（行）向量组中必有一个列（行）向量可以由其余的列（行）向量线性表示；(D)A的列（行）向量组中任意一个列（行）向量都可以由其余的列（行）向量线性表示．2．设A为mn×矩阵，B为nm×矩阵，则下列各选项中正确的是__________(A)当mn>时，必有行列式AB≠0；(B)当mn>时，必有行列式AB=0；(C)当nm>时，必有行列式AB≠0；(D)当nm>时，必有行列式AB=0．-3-线性代数解题方法和技巧第二部分矩阵一、矩阵的概念及运算1．矩阵的概念（方阵、行矩阵、列矩阵、同型矩阵、零矩阵、单位阵、对角阵
7、、对称阵、纯量阵、伴随矩阵、可逆矩阵、奇异矩阵、非奇异矩阵、满秩矩阵、降秩矩阵、正交阵等）2．矩阵的运算矩阵的加法数乘矩阵矩阵的乘法*矩阵的转置*方阵的幂方阵的行列式*说明：重点复习带*号的矩阵运算．3．行列式与矩阵的区别行列式矩阵2n个元素排成n行n列，定义数表按照一定的规则确定一个数值．矩阵的运算（§2.2，§2.3）运算用等号和行列式的性质矩阵的初等变换性质（§1.5）（§3.1，§3.2）用等号用“～”号联系方阵的行列式【测试题】1．设A和B均为n阶矩阵，k为正整数，则下列各选项中正确的是__________（可以多选）(A)A+=+BAB；(
8、B)AB=BA；−111−−(C)ABB=A；(D)()AB+=+AB；−−11−1−111−
