我对“布丰投针概率公式”的证明

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'我对“布丰投针概率公式”的证明'
我对“布丰投针概率公式”的证明索杨军2008年11月7日注:此文于2008年曾在澄城县教学论文大赛中获奖。翻阅初三数学课本,有幸看到布丰投针试验,非常有趣。在平面上画有间距为d的平行线,针的长度是l,l<d,将针随意投在平面上,求针与平行线相交的概率。早在二百多年前,法国数学家布丰就证得此概率p=(2l)/(πd),如此简洁美丽,令人惊叹称奇。经过半天的苦苦思索,终于也证得此式。猛然间看起来,想证两条线相交的概率,绝非易事,好似无从下手,但仔细想来,还是有章可循。当针的中点O落在平面某一点O′ 时,所有的可能性形成了一个圆,其面积如图1的S1: S1=πl24 ①此时,针与平行线相交的所有可能性是两个扇形,其面积如图2的S2: S2=l24?2cos-12xl=l22?cos-12xl ② 其中,x为O到平行线的距离,看图2的注解。到此为止,解决问题的关键还在于选取一个最小的基本单元——一条竖直线段,这条竖直线段长d/2,一端在平行线上,见图3的单元线段。让O在其上移动,这样,所有的可能性形成一个圆柱,其体积如图3的V1: V1=S1d2=πl2d8 ③此时,针与平行线相交的可能性类似于一个锥体,其体积的微分如图4的dV2: dV2=S2dx=l22?cos-12xldx ④针要与平行线相交,其中点O与平行线距离X不能大于l/2,故:x ∈[0,l 2]对其求定积分,不难得出特殊锥体的体积: V2=0l2dV2=0l2l22?cos-12xldx=l34 ⑤积分时要注意扇形半角θ的范围,即:0≤θ<π 于是有 cos-11=0≠2π则针与平行线相交的概率为: p=V2V1=2lπd ⑥证毕。点评:从以上证明过程可以看出,难点不在于计算,而在于两次抽象。首先让针的中点绕基本单元线段上的某点转动,积分得出两个面积之比,然后再让针在基本单元线段上平动,积分得出两个体积之比。不久,向一位好友发出邀请,探求他的新证法,以便交流,看能发现什么规律。虽然未果,但却有意外收获,从他的“概率论”上查得当代数学家的证明,附录如下:如图5所示,设针与平行线的夹角为φ,则0≤φ≤π;设针的中点O到平行线的距离为x,则相交时满足:x≤l2sinφ先保持φ不变,跟上面的证法类似,让针的中点O在最小的基本单元线段(一条竖直线段,这条竖直线段长d/2,一端在平行线上)上平动,则点O所有的可能性将形成一条线段轨迹,正好是单元线段本身,如图6的l1,其长度: l1 = d 2 ①此时,针与平行线相交的可能性也是一条线段轨迹,如图7的l2,其长度: l2 =l2sinφ ②然后让φ变化(注意:O仍在基本单元线段上),即让针在0到π之间转动,则所有的可能性形成一个矩形,长为π,宽为d/2,其面积如图8的S1: S1 =πd 2 ③此时,针与平行线相交的所有可能性是一条正弦曲线与φ 轴围成的面积,如图8的S2,其面积的微分dS2是: dS2=l 2 sinφdφ ④对其求定积分,容易得出S2的面积为: S2 =0πdS2=0πl 2 sinφdφ = l ⑤则针与平行线相交的概率为: p=S2S1=2 lπd ⑥证毕。注:原证明过程相对粗糙,插图只有5和8,外加一个综合算式,较难看懂,为方便读者透彻理解,笔者增加了图6、图7 以及讲解部分,且对图8进行了加工处理。点评:从以上证明过程可以看出,难点也不在于计算,仍在于两次抽象。首先让针的中点在基本单元线段上平动,积分得出两个长度之比,然后再让针在基本单元线段上转动,积分得出两个面积之比。比较两种证法,获益匪浅:1. 大同。难点和关键都在于去粗取精、去伪存真,灵活机动地放弃无穷大平面,紧紧瞄准一个基本单元,进行单独分析,即可迎刃而解,更为神奇的是,二者选中的单元线段竟不谋而合,殊途同归,难道巧合?绝非,它揭示了投针概率的本质特点,也是抽象思维的的必然产物。此外,数学工具都涉及到微积分,解题过程都分为六个步骤。2. 小异。前者先将线积成面,再将面积成体,得到体积之比;后者直接将针看作点,先将点积成线,再将线积成面,得到面积之比。后者简化了一维空间,为何会造成此差别?根本原因在于颠倒了积分顺序,前者先转动后平动,后者先平动后转动。平动时可将针抽象为一个点,而转动时却不能。总之,不管是思想和方法,还是工具与步骤,都完全一致,只是后者更加抽象,稍难理解却换来了计算量的简化,有失有得,得大于失。可见,对于多重积分,适当选取积分顺序,可避免繁琐计算。至于布丰如何证得,笔者无法考证,但有一点是肯定的,即使对于一个当时著名的数学家,有着非凡的数学思想,但在微积分这一数学工具尚不完善的时代,证得此公式还是稍微有些难度的。5
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