抛物线顶点坐标的求法(公式法)

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抛物线顶点坐标的求法(公式法)1、二次函数表达式的“一般形式”为 ; 李丹与王涓(2019届bobo)2、二次函数表达式的“配方形式”为 ;一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标1、先把“一般形式”的二次函数()转化成“配方形式”为 ,再依据由“配方式”看顶点坐标的方法,可知其顶点坐标为 ,我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”;①、求二次函数的顶点坐标以及最值?解:由顶点坐标公式得: ; ;∴ 顶点坐标为 ;又∵ 抛物线开口向 ,有最 点,∴ y有最 值;即:当 时, ;②、求二次函数的顶点坐标,并对函数的增减性作出描述?解:由顶点坐标公式得: ;把 代入函数表达式得: ; ∴ 顶点坐标为 ;又∵ 抛物线开口向 ,所以,在对称轴的左侧,即当自变量x 时,y的值随x的增大而 ;在对称轴的右侧,即当自变量x 时,y的值随x的增大而 ;③、求二次函数的顶点坐标、并在当<时,求函数y的最值?解:由顶点坐标公式得: ;∴ 可设抛物线的表达式为:,易求 ;∴ 原表达式化为配方式为 ,则顶点坐标为 ;又 ,不在“<”的范围内,∴ 函数y的最值“不在”顶点处取,由图形可知,当 时, ;变式:如果把“<”改为“”,问y有最大值吗?答: ;点评:第①题是严格运用“顶点坐标”公式,分别求和(不妨命名为:全求分别法);第②题是先求,然后代入函数表达式,再求出(不妨命名为:半求代入法);第③题是先求,然后“拼凑”出配方式,再求出(不妨命名为:半求拼凑法);以上“三种”方法,请根据实际情况灵活选择,以便于计算作为“选择依据”!!!二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标1、基本事实依据:什么叫抛物线的对称轴?答:第一种说法,经过抛物线的顶点,且垂直于 轴的直线,叫做抛物线的对称轴;第二种说法,抛物线上任意一对“对称点”连线的 线,叫做抛物线的对称轴;2、二次函数的表达式的“交点形式”为().其中,“值”与“一般形式”()中“值”的相等,而“、”分别代表抛物线()与x轴的交点横坐标,即是说“、”是一元二次方程()的二根,所以抛物线的“交点形式”,也可称“二根形式”。3、重要思路:如果抛物线()与x轴有两个交点,分别为A(,)、B(,),那么线段AB的“垂直平分线”必为抛物线的 ,这条对称轴的表达式为:直线(关于这一结论,可以通过举例,来加以理解!)。知道了,就可以根据表达式,利用“半求代入法”,求出“”,岂不快哉!如此一来,也能“又快、有准”地写出“配方形式”,岂不美哉!①、求二次函数的顶点坐标以及最值,并把解析式化为配方式.解: 联立得:,解得: , ;∴ 抛物线的对称轴为:直线 ;把 代入,得 ;∴ 顶点坐标为 ,∴当 时, ;则抛物线的配方形式为 ;②、求抛物线的顶点坐标,并在<的范围内,求函数y的最值?③、某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系:,(1)、写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)、如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?4、提出问题:如果抛物线()与x轴“没有交点”,那么怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标呢?思路:假设抛物线与平行于x轴的“某条直线”: 如有两个交点,则联立得:,即:,设此方程的二根为、,由韦达定理可知:,而点A(,)、点B(,)必然是抛物线上的一对“对称点”,∴ 对称轴为:直线然后把代入抛物线表达式可得:∴ 抛物线的顶点坐标为 ;启示:无论抛物线与x轴是否有公共点,其顶点横标,即对称轴直线“永远”为:,再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标!!!三、应用练习1、函数化为配方式为 ,可知顶点坐标为 ,当 时,有最 值为 ;2、抛物线先向右平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得新抛物线的表达式为 ,新抛物线的顶点坐标为 ;3、已知点A(,)、B(,)、C(,)在抛物线上,且直线经过第二、四象限,试比较、、的大小关系 (用“<”来连接);4、抛物线的顶点坐标为 ,当自变量x的取值范围满足:<时,函数y的取值范围满足: ;5、已知抛物线的对称轴是直线,函数y的取值范围是,则抛物线的开口向 ,若抛物线与y轴的交
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