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时间:2019-10-02
《数学解题方法谈:等比数列判定六法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、等比数列判定六法一、定义法根据等比数列的定义,判断或是一个与无关的常数.例1 如果是等差数列,则数列(为常数,且)一定是等比数列;如果是等比数列,且,则数列(为常数,,且)一定是等差数列,你能证明吗?证明:若为等差数列,则有,并且(为常数),(常数),故数列为等比数列.同理,为等比数列,且时,,(常数),,数列是公差为的等差数列.二、等比中项法对于各项均不为零的数列,若对于任意大于1的正整数都有,则可判定数列为等比数列.例2 已知,其中依次成等差数列,且公差不为零,判断是否成等比数列?解:设等差数列的公差为,则,,,
2、代入,可得.,.又,故成等比数列.三、通项公式法第3页共3页为等比数列.例3 已知是各项均为正数的等差数列,,,成等差数列,又,.判断是否为等比数列?解:成等差数列,,即.又设等差数列的公差为,则,即.当时,是一个各项均为正数的常数列,是等比数列;当时,,,.故是首项为,公比为的等比数列.四、递推公式法例4 根据如图所示的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.问:这个数列是等比数列吗?分析:先求出前5项值,然后通过递推性质确定其通项公式.解:若将打印出来的数依次记为(即),,,.由图可知,,,,.于是可
3、得递推公式由于,因此这个数列是等比数列,其通项公式是.五、前项和公式法在数列中,前项和为,若,则为等比数列.例5 已知数列的前项和为(是不为0的实数),则( )第3页共3页A.一定是等比数列B.一定是等差数列C.是等差数列或是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列解:当时,的各项都为0,这个数列是等差数列,但不是等比数列;当时,由知,是等比数列,但不是等差数列,故先C.六、反例法若判断一个数列不是等比数列,则反例法显得更简单.例6 设,是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.解:设,的公比分
4、别为.为证不是等比数列只需证.事实上,,.由于,,又不为零,因此,故不是等比数列.注意:有些试题常常需要由一个特别说明一个命题是错误的,但应当注意一个特例不能说明命题是正确的.第3页共3页
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