数学建模 漏斗中水流出的时间问题

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漏斗中水流出的时间问题探究容器内水的流出时间与水流量的关系,有助于现实生活中人们利用时间来控制水库水流量,以达到有计划的放水供应城市用水。接下来我们就来探究一下漏斗中水流出的时间问题。一、 模型假设1、 水在漏斗底端小孔流出时,由于水属于非粘性液体,从流体力学的观点看,可忽略出水口对水的张力,故在出水口的水的运动可看作有初速度的自由下落。2、 设漏斗的顶部大圆半径为,底出口孔圆半径为,漏斗高,重力加速度为;在漏水过程中漏斗中轴线竖直并且静止。二、 模型建立要求漏斗中的水流完所需要的时间,得先求出出水口的水流速度,在流出的瞬间,由于重力势能的作用,瞬时将重力势能转化为动能,假设漏斗底端离水平面高度为,当时间内水位下降了时,由动能定理得所以水流出的初速度为在水位下降时,此时漏斗的水平面圆半径为,则在这时间内,漏斗中水减少的体积为,其中所以又在出水口流出的体积为,因为 所以 式子左右同时除以得当时,而,所以式子进一步得到 又 所以式子化为令所以三、 结果分析所以式子两边同时积分①、当时,,此时做的是自由落体运动;②、当时,,即是水永远流不出来。
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