2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案（含解析）新人教A版

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1、3.1.1　两角差的余弦公式考试标准课标要点学考要求高考要求两角差的余弦公式bb两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式cc两角和与差的正切公式cc知识导图学法指导本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.两角差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β为任意角　对两角差的余弦公式的记忆和理解(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是

2、含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝－等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－co

3、s30°.(　　)(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．(　　)(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(　　)(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．cos(30°－45°)等于(　　)A.　　　　B.C.D.解析：cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.答案：D3．cos45°·cos15°＋sin45°·sin

4、15°等于(　　)A.B.C.D.解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.答案：B4．已知cosα＝，α∈，则cos＝________.解析：因为cosα＝，α∈，所以sinα＝＝＝.所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.答案：类型一　运用公式化简求值例1　化简求值：(1)cos63°sin57°＋sin117°sin33°；(2)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.【解析】　(1)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30

5、°＝.(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(1)由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角．(2)利用公式求值．方法归纳两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．跟踪训练1　求值：(1)cos15°＝________；(2)cos75°cos15°＋sin

6、75°sin15°＝________.解析：(1)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.答案：(1)　(2)(1)15°＝45°－30°.(2)利用公式求值．类型二　给值求值问题例2　已知α，β∈，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值．【解析】　因为α，β∈，所以0<α＋β<π，由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]

7、＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.β看成是β＝(α＋β)－α，从已知条件中求出(α＋β)与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．方法归纳给值求值的解题策略(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等．跟踪训练2　若把本例2中“α，β∈”改为“α，β∈”，求cosβ的值．解析：因为α，β∈，所以π<α＋β<2π，由cos(α

8、＋β)＝－，得sin(α＋β)＝－，又sinα＝，所以cosα＝－，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－.由α，β∈，得α＋β∈(π，2π)，由已知求α＋β，α的正(余)弦值再利用公式求值．类型三　由三角函数值求角例3　已知cosα＝，cos(α＋β)