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《2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.2函数的最大值、最小值学案(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 函数的最大值、最小值知识点 函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最大值是0,有f(0)=0.[小试身手]1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值.( )(2)函数的最小值一定比最大值小.( )答案:(1)× (2)×2.函数f(x)=在[1,+∞)上( )A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值解析:函数f(x)=是反比例函数,当x∈(0,+∞)时,函数图象下降,所以在[1,+∞)上f(x)为减函数
2、,f(1)为f(x)在[1,+∞)上的最大值,函数在[1,+∞)上没有最小值.故选A.答案:A3.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最大值分别为( )A.3,5B.-3,5C.1,5D.-5,3解析:因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是单调递减函数,所以当x=2时,函数的最小值为-3.当x=-2时,函数的最大值为5.答案:B4.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由图象知点(1,2)是最高点,故ymax=2.点(
3、-2,f(-2))是最低点,故ymin=f(-2).答案:C类型一 图象法求函数的最值例1 如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间.【解析】 观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所以函数y=f(x)当x=3时取得最大值,最大值是3.当x=-1.5时取得最小值,最小值是-2.函数的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7].观察函数图象,最高点坐标(3,3),最低点(-1.5,-2).方法归纳图象法求最值的
4、一般步骤跟踪训练1 已知函数y=-
5、x-1
6、+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.解析:y=-
7、x-1
8、+2=图象如图所示.由图象知,函数y=-
9、x-1
10、+2的最大值为2,没有最小值,所以其值域为(-∞,2].利用x的不同取值先去绝对值,再画图.类型二 利用单调性求函数的最大(小值)例2 已知f(x)=,(1)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值.【解析】 (1)函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x2>x1>1,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1-1>0,x2
11、-1>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.(2)由(1)可知f(x)在(1,+∞)上是减函数,所以f(x)在[2,6]上是减函数,所以f(x)max=f(2)=1,f(x)min=f(6)=,即f(x)min=,f(x)max=1.(1)用定义法证明函数f(x)在(1,+∞)上的单调性.(2)利用函数单调性求最大值和最小值.方法归纳1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性求出最大(小)值.2.函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若
12、函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.跟踪训练2 已知函数f(x)=,求函数f(x)在[1,5]上的最值.解析:先证明函数f(x)=的单调性,设x1,x2是区间上的任意两个实数,且x2>x1>,f(x1)-f(x2)=-=.由于x2>x1>,所以x2-x1>0,且(2x1-1)·
13、(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=在区间上是减少的,所以函数f(x)在[1,5]上是减少的,因此,函数f(x)=在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)=3,最小值为f(5)=.(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性求出最大(小)值.类型三 二次函数最值例3 求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】 f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a.(1)当a<0时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)
14、max=f(2)=3-4a.(2)当0≤a≤1时,由图②可知,f(x)min=f