2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性学案（含解析）新人教A版必修1

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1、1.3.2　奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念bb2.奇函数、偶函数的性质cc知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点　奇、偶函数1．偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫

2、做偶函数．2．奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图

3、象关于(0,0)对称．(　　)(2)奇函数的图象关于y轴对称．(　　)(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．(　　)(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝

4、x

5、　　　B．y＝3－x　　C．y＝　　D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)A．－2B．2C．0D

6、．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)　(1)(3)类型一　函数奇偶性的判断例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；　　(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝【解析】　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)

7、，因此函数f(x)是奇函数．(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝即f(－x)＝于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(

8、2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2);(2)f(x)＝

9、x＋1

10、－

11、x－1

12、；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝

13、－x＋1

14、－

15、－x－1

16、＝

17、x－1

18、－

19、x＋1

20、＝－(

21、x＋1

22、－

23、x－1

24、)＝－f(x)，

25、∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二　函数奇偶性的图象特征例2　设奇

26、函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．【解析】　由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x

27、－2