2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案（含解析）新人教A版

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1、3.2.1　几类不同增长的函数模型知识点一　常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模

2、型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．知识点二　指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)

3、的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　)(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax

4、对数函数的性质可知：a＝log31，∴有a

5、变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(

6、图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】　(1)A　(2)y2,(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1　分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x

7、的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二　三类函数图象综合运用例2　判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】　设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x>0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当x>x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y