2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版

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1、2.2.2　向量减法运算及其几何意义考试标准课标要点学考要求高考要求向量加法的定义及其几何意义bb向量加法的交换律与结合律bb相反向量的概念aa向量减法的定义及其几何意义bb知识导图学法指导1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为背景引入．而向量的减法运算是通过类比实数的减法运算引入的．2．由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题．第1课时　向量加法运算及其几何意义1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法．2．向量加法的运算法则(1)三角形法则已知非零

2、向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.(2)平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．　1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(

3、1)两个法则的使用条件不同：三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：＝＋(平行四边形法则)，又∵＝，∴＝＋(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量＋与非零向量，的模及方向的联系(1)当向量与不共线时，向量＋的方向与，都不相同，且

4、＋

5、<

6、

7、＋

8、

9、，几何意义是三角形两边之和大于第三边．(2)当向量与同向时，向量＋与(或)方向相同，且

10、＋

11、＝

12、

13、＋

14、

15、

16、.(3)当向量与反向时，且

17、

18、≤

19、

20、时，＋与方向相同(与方向相反)，且

21、＋

22、＝

23、

24、－

25、

26、.[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋0＝a.(　　)(2)a＋b＝b＋a.(　　)(3)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.(　　)(4)＋＝2.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　)A.B.C.D.解析：＋＝.答案：D3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)A.＝B.＋＝C.＝＋D.＋＝0解析：因为＝＋≠＋，故C错误．答案：C

27、4．a、b为非零向量，且

28、a＋b

29、＝

30、a

31、＋

32、b

33、，则(　　)A．a∥b，且a与b方向相同B．a、b是方向相反的向量C．a＝－bD．a、b无论什么关系均可解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有

34、a＋b

35、＝

36、a

37、＋

38、b

39、成立，故A项正确．答案：A类型一　已知向量作和向量例1　如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.【解析】　方法一　可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．　　　　　　　　　①　　　　　

40、　　　　　②方法二　三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；(3)再作向量＝c；(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即即为所求.利用三角形法则或,平行四边形法则→先作出两个向量,的和向量→再作出三个向量的和向量方法归纳(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的

41、基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.　解析：方法一　如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.方法二　如图(2)，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则．类型二　向量的加法运算例2

42、　化简：(1)＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋.【解析】　(1)＋＝＋＝.(2)＋＋＝＋＋＝＋＝.(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．方法归