2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法练习（含解析）新人教A版

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1、第26课时　平面几何中的向量方法对应学生用书P73　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一平行、垂直的问题1．已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是(　　)A．A，B，C三点共线B．⊥C．A，B，C是锐角三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点答案　D解析　∵＝(－2，0)，＝(2，4)，∴·＝－4<0，∴∠C是钝角．故选D．2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足

2、－

3、＝

4、＋－2

5、，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案　B解析　

6、因为

7、－

8、＝

9、

10、＝

11、－

12、，

13、＋－2

14、＝

15、＋

16、，所以

17、－

18、＝

19、＋

20、，则·＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形，故选B．3．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式不成立的是(　　)A．

21、

22、2＝·B．

23、

24、2＝·C．

25、

26、2＝·D．

27、

28、2＝答案　C解析　·＝·(＋)＝2＋·＝2＝

29、

30、2，A正确；同理

31、

32、2＝·成立，B正确；又＝＝2＝

33、

34、2，D正确．4．过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为(　　)A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0答案　

35、A解析　设P(x，y)为直线上一点，则＝(x－2，y－3)．依题意有⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0．故选A．5．如图，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PFCE是矩形．试用向量法证明：PA⊥EF．证明　以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，P(m，m)，依题意，得E(1，m)，F(m，0)，A(0，1)，于是＝(m，m－1)，＝(m－1，－m)，则·＝m(m－1)－(m－1)m＝0，所以⊥，即AP⊥EF．知

36、识点二长度和夹角的问题6．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　)A．2B．C．3D．答案　B解析　BC的中点为D，6，＝－，5，∴

37、

38、＝．7．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°(用向量法证明)．证明　连接OP，设向量＝a，＝b，则＝－a，且＝－＝a－b，＝－＝－a－b．∴·＝b2－a2＝

39、b

40、2－

41、a

42、2＝0，∴⊥，即∠APB＝90°．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且B

43、D＝DC．求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．解　(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b．∴

44、

45、2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3．∴AD＝．(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．∴cosθ＝＝＝＝＝0．∴θ＝90°．即∠DAC＝90°．9．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF．求证：∠ADB＝∠FDC．证明　如图所示，建立直角坐标系，设A(2，0)，C(0，2)，则点D(0，1)．于是＝(

46、－2，1)，＝(－2，2)．设F(x，y)．由⊥，得·＝0，即(x，y)·(－2，1)＝0，∴－2x＋y＝0．①又F点在AC上，则∥．而＝(－x，2－y)，因此，2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2．②由①②式解得x＝，y＝，∴F，，＝，，＝(0，1)，故·＝．又·＝

47、

48、

49、

50、cosθ＝cosθ，∴cosθ＝，即cos∠FDC＝，又cos∠ADB＝＝＝，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC．对应学生用书P74　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．若a＝(1，2)，b＝(x，1

51、)，且a＋2b与2a－b平行，则x等于(　　)A．2B．1C．D．答案　C解析　∵a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，∴8－4x－3－6x＝0，解得x＝．2．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　因为＝－＝－，所以2＝－2＝2－·＋2，即2＝1，所以

52、

53、＝2，即AC＝2．3．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°答案　A解析　由＋＋＝0，得＝－，两边平方

54、得2＝2＋2－2·，由于

55、

56、＝

57、

58、＝

59、

60、，则

61、

62、2＝2

63、

64、

65、

66、cos〈，〉，所以cos〈，〉＝，则∠BOC＝60°，所以∠A＝∠BOC＝30°，故选A．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在区间为(　　)A．(2，3)B．(3，4)C．(4，5)D