2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的物理背景及其含义（2）练习新人教A版

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1、第24课时　平面向量数量积的物理背景及其含义(2)对应学生用书P69　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一夹角问题1．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　)A．30°B．45°C．135°D．150°答案　A解析　∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝．设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝．又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°．2．若非零向量a，b满足

2、a

3、＝

4、b

5、，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　

6、　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案　C解析　设θ为a与b的夹角，∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴2

7、a

8、

9、b

10、cosθ＋

11、b

12、2＝0．又∵

13、a

14、＝

15、b

16、≠0，∴cosθ＝－，∴θ＝120°．3．已知

17、a

18、＝

19、b

20、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．答案　解析　设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得

21、a

22、2＋a·b－2

23、b

24、2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝，所以θ＝．知识点二模及长度问题4．已知a·b＝－

25、12，

26、a

27、＝4，a与b的夹角为135°，则

28、b

29、＝(　　)A．12B．3C．6D．3答案　C解析　a·b＝

30、a

31、

32、b

33、cos135°＝－12，又

34、a

35、＝4，解得

36、b

37、＝6．5．已知平面向量a，b满足

38、a

39、＝，

40、b

41、＝2，a·b＝－3，则

42、a＋2b

43、＝(　　)A．1B．C．4＋D．2答案　B解析　根据题意，得

44、a＋2b

45、＝＝．故选B．6．已知

46、p

47、＝2，

48、q

49、＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)A．15B．C．14D．16答案　A解析　以a，b为邻

50、边的平行四边形的对角线有两条，分别为a＋b，a－b，从而

51、a＋b

52、＝

53、6p－q

54、＝＝＝＝15．

55、a－b

56、＝

57、4p＋5q

58、＝＝＝．故选A．7．已知向量a与b的夹角为120°，且

59、a

60、＝4，

61、b

62、＝2，求：(1)

63、a＋b

64、；(2)

65、3a－4b

66、．解　由已知得a·b＝4×2×cos120°＝－4，a2＝

67、a

68、2＝16，b2＝

69、b

70、2＝4．(1)因为

71、a＋b

72、2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以

73、a＋b

74、＝2．(2)因为

75、3a－4b

76、2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b

77、2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以

78、3a－4b

79、＝4．8．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使

80、a＋b

81、＝

82、a－b

83、成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解　假设存在满足条件的θ．∵

84、a＋b

85、＝

86、a－b

87、，∴(a＋b)2＝3(a－b)2．∴

88、a

89、2＋2a·b＋

90、b

91、2＝3(

92、a

93、2－2a·b＋

94、b

95、2)．∴

96、a

97、2－4a·b＋

98、b

99、2＝0．∴

100、a

101、2－4

102、a

103、

104、b

105、cosθ＋

106、b

107、2＝0．∴解得cosθ∈，1．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈0，．故当θ∈0，时

108、，

109、a＋b

110、＝

111、a－b

112、成立．知识点三垂直问题9．若

113、a

114、＝

115、b

116、＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝(　　)A．－6B．6C．3D．－3答案　B解析　由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又

117、a

118、＝

119、b

120、＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6．10．已知

121、a

122、＝3，

123、b

124、＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b．(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？解　(1)由向量c与d垂直，得c·d＝0，而c·d＝(3a＋5b)·

125、(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝，即m＝时，c与d垂直．(2)由c与d共线得，存在实数λ，使得c＝λd，∴3a＋5b＝λ(ma－3b)，即3a＋5b＝λma－3λb，又∵a与b不共线，∴解得即当m＝－时，c与d共线．对应学生用书P70　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．若

126、a

127、＝1，

128、b

129、＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案　C解析　由c⊥a，得a·c＝

130、0，又c＝a＋b，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0．设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，所以θ＝120°，即向量a与b的夹角为120°．故选C．2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)A．－B．C．－D．答案　C解析　由题意可知，

131、

132、＝，

133、

134、＝．根据向量的加法，知＋＝2，则·(＋)＝2

135、

136、

137、

138、cos180°＝2