2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（1）练习新人教A版

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1、第23课时　平面向量数量积的物理背景及其含义(1)对应学生用书P67　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一平面向量数量积的定义1．若向量a，b满足

2、a

3、＝

4、b

5、＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　)A．B．C．1＋D．2答案　A解析　a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cos60°＝1×1×＝．2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．答案　－6解析　由题设知

10、e1

11、＝

12、e2

13、＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2

14、－8e＝3－2×－8＝－6．知识点二平面向量数量积的几何意义3．若

15、a

16、＝2，

17、b

18、＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　)A．－3B．－2C．2D．－1答案　D解析　a在b方向上的投影是

19、a

20、cosθ＝2×cos120°＝－1，故选D．4．已知

21、a

22、＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________，e在a方向上的投影为________．答案　　－解析　设a与e的夹角为θ，则

23、a

24、·cosθ＝－2，即4cosθ＝－2，∴cosθ＝－，∴θ＝，

25、e

26、·cosθ＝－．知识点三平面向量

27、数量积的性质及运算律5．给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝

28、a

29、2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤

30、a·b

31、≤a·b．其中正确结论的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有

32、a·b

33、≥a·b，故⑤错误．6．若

34、a

35、＝1，

36、b

37、＝2，则

38、a·b

39、的模不可能是(　　)A．0B．C．2D．3答案　D解析　由向量内积性质

40、a·b

41、≤

42、a

43、

44、b

45、．7．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，

46、·＝4，·＝－1，则·的值是________．答案　解析　解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，则Eb，c，Fb，c，＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，＝＋a，，＝－a，，＝b＋a，c，＝b－a，c．由·＝b2－a2＋c2＝4，·＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝，则·＝(b2＋c2)－a2＝．解法二：设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9

47、b

48、2－

49、a

50、2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝

51、b

52、2－

53、a

54、2＝－1，解得

55、a

56、2

57、＝，

58、b

59、2＝，则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4

60、b

61、2－

62、a

63、2＝．解法三：利用极化恒等式a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，将不易计算的数量积转化为容易计算的线段长度．本题中有·＝·＝2－2＝4，而·＝·＝2－2＝2－2＝－1．于是不难计算得2＝，2＝，进而·＝·＝2－2＝2－2＝×－＝．知识点四平面向量数量积的应用8．若向量a与b的夹角为60°，

64、b

65、＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　)A．2B．4C．6D．12答案　C解析　∵a·b＝

66、a

67、

68、b

69、cos60°＝2

70、a

71、，∴(a＋2b)·(a－3b)＝

72、a

73、

74、2－6

75、b

76、2－a·b＝

77、a

78、2－2

79、a

80、－96＝－72．∴

81、a

82、＝6．故选C．9．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

83、

84、＝1，则·＝(　　)A．2B．C．D．答案　D解析　设

85、

86、＝x，则

87、

88、＝x，·＝(＋)·＝·＝

89、

90、

91、

92、cos∠ADB＝x·1·＝．10．设四边形ABCD为平行四边形，

93、

94、＝6，

95、

96、＝4．若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)A．20B．15C．9D．6答案　C解析　如图所示，由题设知：＝＋＝＋，＝－，所以·＝＋·－＝

97、

98、2－

99、

100、2＋·－·＝×36－×16＝9．对应学生用书P67　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择

101、题1．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)A．－5B．5C．－5D．5答案　A解析　a在x轴上的投影为

102、a

103、·cos150°＝－5．2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值为(　　)A．1B．－1C．2D．－2答案　B解析　·＝·(－)＝·－2＝－

104、

105、2＝－1．3．已知a⊥b，

106、a

107、＝2，

108、b

109、＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)A．B．－C．±D．1答案　A解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0

110、，∴λ＝．故选A．4．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(