2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案(含解析)新人教A版

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1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考试标准课标要点学考要求高考要求数量积的坐标表示cc两个向量夹角的坐标运算 bb平面向量模的坐标运算bb知识导图学法指导1.学习了本节后,我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法,通过一题两解,体会基底法和坐标法的优劣及选择依据.2.通过数形结合,对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比,培养学生联想的记忆方法.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 

2、对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和;(2)引入坐标运算后,使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来,从而使得向量的工具性作用更强;(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题,用向量的坐标运算来实现几何问题的求解,数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多.2.三个重要公式向量模公式:设a=(x1,y1),则

3、a

4、=两点间距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则

5、

6、=向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cosθ== 对向量模长公式的理解(1)模长公式是数量积的坐标表示

7、·=x1x2+y1y2的一种特例,当=时,则可得

8、

9、2=x+y;(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),所以

10、

11、=,即

12、

13、的实质是A,B两点间的距离或线段AB的长度,这也是模的几何意义.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为0°.(  )(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(  )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.(  )答案:(1)× (2)√ (3)×2

14、.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是(  )A.23  B.7C.-23D.-7解析:由数量积的计算公式得,a·b=(-3,4)·(5,2)=-3×5+4×2=-7.答案:D3.已知a=(-2,1),b=(x,-2),且a⊥b,则x的值为(  )A.-1B.0C.1D.2解析:由题意,a·b=(-2,1)·(x,-2)=-2x-2=0,解得x=-1.答案:A4.已知a=(1,),b=(-2,0),则

15、a+b

16、=________.解析:因为a+b=(-1,),所以

17、a+b

18、==2.答案:2类型一 数量积的坐标运算例1 (1)设向量a=(1,-2),向量b=(-3,

19、4),向量c=(3,2),则向量(a+2b)·c=(  )A.(-15,12)B.0C.-3D.-11(2)已知向量a=(1,2),b=(2,x),且a·b=-1,则x的值等于(  )A.B.-C.D.-【解析】 (1)依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3.(2)因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=(1,2)·(2,x)=1×2+2x=-1,解得x=-.【答案】 (1)C (2)D(1)先求出+2,然后利用平面向量的数量积求出(+2)·.(2)利用平面向量的数量积运算求

20、出·,由·=-1得出关于x的方程求解.方法归纳数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.跟踪训练1 已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c=________.解析:设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,所以解得所以c=.答案:设=(x,y),利用平面向量的数量积运算,列出关于x,y的方程求解.类型二 平面向量的模例2 (1)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b,则

21、a+b

22、=(  )A.B.C.2D.5(2)已知向量a=(1

23、,2),b=(-3,2),则

24、a+b

25、=________,

26、a-b

27、=________.【解析】 (1)因为a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b,所以-2x-1×1=0,解得x=-.所以a+b=+(1,-2)=,

28、a+b

29、==.(2)由题意,知a+b=(-2,4),a-b=(4,0),所以

30、a+b

31、==2,

32、a-b

33、=4.【答案】 (1)B (2)2 4(1)两向量=(x1,y1),=(x2,y2)共线的坐标表示:x1y2-x2y1=0.(2)已知=(x,y),则

34、

35、=.方

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