2019_2020学年高中数学第二章数列2.5.3数列求和练习(含解析)新人教A版必修5

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1、第17课时 数列求和知识点一分组求和法                 1.求和:(a-1)+(a2-2)+…+(an-n)(a≠0).解 原式=(a+a2+…+an)-(1+2+…+n)=(a+a2+…+an)-=2.求数列,,,,…的前n项和.解 Sn=1++2++3++4++…+n+=(1+2+3+…+n)+++…+=+=+1-.知识点二裂项相消法3.求和:1+++…+.解 ∵an===2-,∴Sn=21-+-+…+-=.4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=n2+n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设

2、的前n项和为Tn,求证Tn<1.解 (1)∵Sn=n2+n,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,又a1=2满足上式,∴an=2n(n∈N*).(2)证明:∵Sn=n2+n=n(n+1),∴==-,∴Tn=1-+-+…+-=1-.∵n∈N*,∴>0,即Tn<1.知识点三错位相减法5.已知an=n-2n,bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求Sn的表达式.解 因为an=n-2n,bn=,所以bn=-1,所以Sn=b1+b2+…+bn=++…+=-n,令Tn=++…+,则Tn=++…+,两式相

3、减得Tn=+++…-=1--,所以Tn=2-,即Sn=2--n.6.已知数列{an}是首项a1=,公比q=的等比数列,设bn+3log4an+2=0,数列{cn}满足cn=an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{cn}的前n项和Sn.解 (1)由题意,得an=n,又bn=-3log4an-2,故bn=3n-2.(2)由(1)知an=n,bn=3n-2,所以cn=(3n-2)n.所以Sn=1×+4×2+7×3+…+(3n-5)×n-1+(3n-2)×n, ①于是Sn=1×2+4×3+7×4+…+(3n-5)×n+(

4、3n-2)×n+1. ②①-②,得Sn=+3×2+3+…+n-(3n-2)×n+1=-(3n+2)×n+1.所以Sn=-×n.知识点四倒序相加求和7.已知数列{an}的通项公式为an=n-2(n∈N*),设f(x)=x+log2,则数列{f(an)}的各项之和为(  )A.36B.33C.30D.27答案 D解析 由f(x)=x+log2,可知>0,解得-2<x<8.{f(an)}中-2<an<8,又an=n-2,所以an=-1,0,1,2,…7.由f(6-x)=6-x+log2可得f(x)+f(6-x)=6.且有f(3)=3,数

5、列{f(an)}的各项之和为f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=f(-1)+f(0)+…+f(7)=[f(-1)+f(7)]+[f(0)+f(6)]+[f(1)+f(5)]+[f(2)+f(4)]+f(3)=4×6+3=27.故选D.8.已知函数f(x)=x+3sinx-+,则f+f+…+f=________.答案 2018解析 ∵f(a)+f(1-a)=a+3sina-++1-a+3sin1-a-+=2+3sina-+3sin-a=2,设S=f+f+…+f, ①则S=f+f+…+f. ②①+②得2S=2018×f+f=403

6、6,∴S=2018.易错点一公式使用条件考虑不周全9.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n+2n+1,求an.易错分析 公式an=是分段的,因为n=1时,Sn-1无意义.在解答中,应加上限制条件n≥2,然后验证n=1时的值是否适合n≥2时的表达式.本题易错解为an=2·3n-1+2.解 a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.由于a1不适合此式,故an=易错点二忽略解决问题的方法致错10.已知数列{an}满足a1=2,an+an+1=2n-3,求数列

7、{an}的前n项和Sn.易错分析 本题如果由递推关系式求出数列的通项,再求前n项和,则过程较繁琐.由递推关系式的特点,可考虑相邻两项并项求和,此时需对n的奇偶性作分类讨论.解 当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=(2×1-3)+(2×3-3)+…+[2(n-1)-3]=2[1+3+…+(n-1)]-3×=.当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)=2+(2×2-3)+(2×4-3)+…+[2(n-1)-3]=2+2[2+4+…+(n-1)]-3×=.故

8、数列{an}的前n项和为Sn=                   一、选择题1.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于(  )A.200B.-200C.400D.-400答案 B解析 S100

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