2019_2020学年高中数学第四章圆与方程4.2.3直线与圆的方程的应用练习（含解析）新人教A版

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1、第32课时　直线与圆的方程的应用对应学生用书P89　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一直线与圆的方程在平面几何中的应用1．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　)A．3－B．3＋C．3－D．答案　A解析　由题意，得lAB：x－y＋2＝0，圆心为(1，0)，所以圆心到lAB的距离d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1．又

2、AB

3、＝＝2，所以△ABC面积的最小值是×2×＝3－．2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)在圆x2＋y2＝1的________．(填圆上、圆外或圆内)答

4、案　圆外解析　由题意得<1，即a2＋b2>1，所以点P(a，b)在圆外．知识点二直线与圆的方程在实际生活中的应用3．在位于城市A南偏西60°相距100海里的B处，一股台风沿着正东方向袭来，风速为120海里/时，台风影响的半径为r(r>50)海里；(1)若r＝70，求台风影响城市A持续的时间(精确到1分钟)?(2)若台风影响城市A持续的时间不超过1小时，求实数r的取值范围．解　(1)由题意，

5、AB′

6、＝70，

7、AC

8、＝50，则

9、B′C

10、＝＝20，∵风速为120海里/时，∴台风影响城市A持续的时间为2××60≈49分钟．(2)由题意，

11、AB″

12、＝r，

13、B″C

14、≤60，∴≤60

15、，∵r>50，∴503，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v．依题意，有解得所以乙向北前进3．75km时甲、乙两人相遇．知识点三坐标法证明几何问题5．如图，直角△ABC

16、的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：

17、AP

18、2＋

19、AQ

20、2＋

21、PQ

22、2为定值．证明　如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．

23、AP

24、2＋

25、AQ

26、2＋

27、PQ

28、2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．对应学生用书P90　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于A，B

29、两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为(　　)A．49πB．36πC．7πD．6π答案　D解析　将x2＋y2－2ax－2y＋2＝0变形为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，由题意，可得圆心C(a，1)到直线y＝ax的距离d＝r＝＝，得a2＝7或1(舍去)，故圆C的面积为π()2＝6π．选D．2．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k＝(　　)A．0B．1C．2D．3答案　A解析　解法一：将两方程联立消去y，得(k2＋1)x2＋2kx－9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k＝0．解法二：直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx

30、－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，所以圆心在y轴上，因此k＝0．3．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2(r＞0)内一点，直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则(　　)A．l∥g，且l与圆相离B．l⊥g，且l与圆相切C．l∥g，且l与圆相交D．l⊥g，且l与圆相离答案　A解析　因为点M(a，b)在圆内，所以a2＋b2＜r2．因为圆心(0，0)到直线l的距离d＝＞r，所以直线l与圆相离．又直线g的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，所以l∥g．4．台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离

31、台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处在危险区域的时间为(　　)A．0．5小时B．1小时C．1．5小时D．2小时答案　B解析　受影响的区域长度＝2＝20千米，故影响时间为1小时．5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为(　　)A．14米B．15米C．米D．2米答案　D解析　以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，