2019_2020学年高中数学课时达标训练（四）三角形中的几何计算（含解析）新人教A版必修5

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1、课时达标训练(四)　三角形中的几何计算[即时达标对点练]题组1　三角形中的几何计算1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选C　∵S＝absinC＝＝＝abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝.2．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则△ABC的面积为(　　)A．32　　　　　　　　B．16C．32或16D．32或16解析：选D　在△ABC中，由正弦定理＝，得sin

2、B＝＝＝，又b>a，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°，∴S△ABC＝×8×8＝32；当B＝120°时，C＝180°－30°－120°＝30°，∴S△ABC＝absinC＝×8×8×＝16.3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为(　　)A.　　　　B．3　　　　C.　　　　D．7解析：选A　∵S△ABC＝AB·ACsinA＝，∴AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.

3、即BC＝.4．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，∴S△ABC＝AB·ACsinA＝10k2＝10，∴k＝1，AB＝8，AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝82＋52－2×8×5×＝49，∴BC＝7，∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.答案：205．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足c＝2，ccosB＋(b－2a)cosC＝0.(1)求角C的大小；(2)求△ABC面积

4、的最大值．解：(1)由正弦定理及题意，得sinCcosB＋sinBcosC－2sinAcosC＝0.∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，∴sinA－2sinAcosC＝0.∵sinA≠0，∴cosC＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)由正弦定理，得＝＝＝＝4，∴a＝4sinA，b＝4sinB．又∵A＋B＝，∴B＝－A.∴△ABC的面积S＝absinC＝4sinAsinB＝4sinAsin＝2sin＋.当A＝时，S有最大值，且Smax＝3.6．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．解

5、：∵AB＝2，AC＝2，B＝30°，∴根据正弦定理，有sinC＝＝＝，又∵AB>AC，∴C>B，则C有两解．(1)当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，∴S△ABC＝AB·AC＝2.(2)当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，∴S△ABC＝AB·ACsinA＝.综上可知，△ABC的面积为2或.题组2　三角形中的恒等式证明问题7．在△ABC中，求证：＝.证明：法一：左边＝＝·＝＝＝＝右边，其中R为△ABC外接圆的半径．∴＝.法二：左边＝＝＝＝＝右边，(cosC≠0)∴＝.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b

6、，c，求证：－＝c.证明：左边＝－＝－－＝－－＝－.右边＝c＝＝＝－，所以左边＝右边，故原等式成立．题组3　三角形中的综合问题9．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C，求的取值范围．解：由正弦定理及已知条件，得a2＋b2－c2＝－ab，∵cosC＝＝－，∴C＝.由正弦定理，得＝＝(sinA＋sinB)．又A＋B＝，∴B＝－A，∴sinA＋sinB＝sinA＋sin＝sin.∵0

7、ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求S的最大值．解：由S＝absinC，S＝c2－(a－b)2＝－(a2＋b2－c2)＋2ab＝－2abcosC＋2ab，得absinC＝－2abcosC＋2ab，即sinC＝4(1－cosC)．又sin2C＋cos2C＝1，解得cosC＝或cosC＝1(舍去)，从而sinC＝，所以S＝absinC＝ab＝a(2－a)＝－(a－1)2＋.由于a＋b＝2，所以0

8、]1．△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC的边长等于(　　)A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8解析：选C　如图，由题意得由(2)得bc＝40.由(3)得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40.∴a＝7.2．在△ABC中，已知c＝3，a＋b＝9，C＝45°，