第5章 平稳时间序列模型的建立

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1、在第3章中所建立的ARMA模型，都是针对零均值平稳序列考虑的。但实际问题中并非如此。第5章平稳时间序列模型的建立如果序列是平稳的，而均值不为0，我们可以通过以下两种方法建模。1.模型中包含常数项。假定过程的理论均值为，则模型可以描述为：通过整理可得：具体建模时，只需要在ARMA模型中加入一个截距项，和回归模型是一样的。如果事先未对序列进行零均值化，即使该截距项可能不显著，也不要把它从模型中删去。因为这个不显著性可能和自回归系数的取值有关。设平稳过程{Xt}的均值为，给定序列X1,…,XN,要检验=0，就需要构造检验统计量或求

2、参数的置信区间。可以从考虑样本均值出发所以参数的置信度为1-的置信区间为若白噪声序列服从正态分布，则有样本均值只是总体均值的一个估计，可能存在误差，因此我们有必要利用样本均值对总体均值是否为0进行检验-即零均值检验。（这个也称为模型的预处理）2.序列减去样本均值得到零均值的序列。而实际问题中k未知，可用它的样本自协方差函数来代替，从而可对=0进行检验。如果0，则通过减去样本均值使其零均值化。MATLAB中可用ttest命令实现零均值的检验，SPSS中选择均值的检验即可。模型AR(n)MA(m)ARMA(n,m)自相关函

3、数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾平稳零均值序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特性可依据上述性质初步确定模型的类型。第一节模型识别选择模型的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况。当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？若k序列在m步后截尾，即若k>m,应有k=0，此时k的估计量渐近于正态分布。即：1.自相关函数截尾的判定因此，判断一个序列的k序列

4、是否在m步后截尾，具体做法如下：若某一个k比较大，而其后的k都很小且接近于0，则可以此k作为模型的阶m，计算上面的置信区间。如果m之后的k落在该区间的频率超过68.3%(或95.5%)，则认为序列适合用MA(m)或更低阶的模型拟合。否则提高m继续计算，一直到满足条件为止。若m值比较大才满足条件，可认为自相关函数拖尾，用AR模型或ARMA模型可能更好。若kk序列在n步后截尾，即若k>n,应有kk=0，此时kk的估计量渐近于正态分布。即：因此，判断一个序列是否可用AR模型来拟合，具体做法如下：若某一个kk比较大，而其后的

5、都很小且接近于0，则可以此时的k作为模型的阶n，计算上面的置信区间。如果n之后的kk值落在该区间的频率超过68.3%(或95.5%)，则认为序列适合用AR(n)或更低阶的模型拟合。否则提高n继续计算，一直到满足条件为止。若n值比较大才满足条件，可认为偏自相关函数拖尾，用MA模型或ARMA模型可能更好。2.偏自相关函数截尾的判定若序列的自相关和偏自相关函数都拖尾，则序列是ARMA模型。若序列自相关函数和偏自相关函数无以上特征，而是出现缓慢衰减或周期性衰减情况，则说明序列不是平稳的。Lag12345678910Acf0.6150.2

6、380.042-0.051-0.0650.0310.0790.1060.058-0.081Pacf0.615-0.2250.002-0.0510.0080.126-0.0220.066-0.07-0.144Lag11121314151617181920Acf-0.137-0.136-0.093-0.0120.025-0.027-0.05-0.101-0.142-0.12Pacf0.033-0.0570.0260.032-0.045-0.0630.014-0.076-0.027-0.016例5.1下图是一磨轮剖面资料的数据图，共25

7、0个。试对该序列建立合适的时间序列模型。观察序列图及样本自相关函数和偏自相关函数图，发现2阶之后值都比较小，假设m=2，则有统计一下2阶之后落在-0.0867*2到0.0867*2之间的自相关函数有几个？适合用MA(2)模型拟合吗？再观察偏自相关函数，发现2阶之后值都比较小，假设n=2，则有统计一下2阶之后落在-0.0634*2到0.0634*2之间的偏自相关函数有几个？适合用AR(2)模型拟合吗？进一步适合用AR(1)模型拟合吗？第三节参数估计自回归模型AR(n)的参数估计：采用Yule-Walker方程一、矩估计原则：以样本数

8、字特征作为总体相应数字特征的估计，以样本数字特征的函数作为总体相应数字特征的相应函数的估计或把其中的γ改为ρ亦可。但是在上述方程组中，自协方差函数是未知的，因此需要用样本自协方差函数来估计，所以可得到和求解上述的方程，即可得到参数和σa2的估计注