自动控制原理PPT电子课件教案-第四章线性系统的根轨迹法

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1、第四章线性系统的根轨迹法4-1.根轨迹概念4-2.绘制根轨迹的基本方法4-3.广义根轨迹4-1.根轨迹的概念4-1-1根轨迹法4-1-2根轨迹与系统性能4-1-3闭环零极点与开环零极点间的关系4-1-4根轨迹方程1948年W.R.EVANS提出了一种确定闭环系统特征根的图解法———根轨迹法。如图：特征方程为：其根为：可以用k为参变量，在s平面作其根轨迹：4-1-2.根轨迹与系统性能通过根轨迹图，可以对系统如下性能做研究：(1)稳定性若系统轨迹进入s右半面，则系统不稳定，根轨迹与虚轴交点处为临界稳定。(2)稳态性能可以判断系统型次，并推

2、算出开环增益。(3)可以通过根轨迹图来确定系统的振型。4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系如图：设：其中为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。为反馈通路根轨迹增益；为开环根轨迹增益。则有：由闭环传递函数可见：1).(当n>m时)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路的根轨迹增益（单位反馈系统，闭环与开环根轨迹增益相同）；2).闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的极点组成（单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。）；3).闭环极点与开环极点、开环零点及K*有关。根轨迹：由开环零、极点来确定闭环极点随K*变化在s平面上画出的轨迹

3、。4-1-4根轨迹方程系统特征方程：1+G(s)H(s)=0，即幅值条件：相角条件：1、相角条件：满足该条件的点均为可能的根；2、幅值条件：满足该条件的点确定K＊值。3、在满足相角条件下，将根轨迹增益K＊由零增大直至，便可利用幅值条件画出根轨迹。4-2.绘制根轨迹的基本法则法则1.根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。当K＊=0时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的极点。由可得：当K＊时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的零点。同样由也可得：法则2.根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹

4、的分支数与开环有限零点数m、开环有限极点数n中的大者相等，连续对称于实轴。当mm时，根轨迹当K*的渐进线可由下式而定：法则4.实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。法则5.两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是下列方程的解：例4-1.设系统结构如图，试绘制其概略

5、根轨迹。解：画出s面上的开环零点，极点（0，-2，-3）。(1).实轴上[-3，-2]，[-1，0]是根轨迹。(2).根轨迹有三条分支，分别始于0，-2，-3；终於-1和两个无限零点。有两条渐近线：(3).实轴上[-3，-2]内有一分离点d：所以分离点为：d-2.47该方程可化为d3＋4d2+5d+3=0其根为：-2.4656，-0.7672j0.7926按上述法则画出如右根轨迹图：-3-2-10例4-2.设单位反馈系统开环传递函数为：试绘制闭环系统根轨迹。解：在s平面上开环极点有两个：-1j，开环零点-2。(1).实轴(，-

6、2]为根轨迹。(2).根轨迹有两条分支，始于-1+j和-1-j终於-2和。(3).在(，-2]上有一分离点：即解得：（舍去），作出该系统的根轨迹如下图所示：-2-1+j-1-j-3.414事实上，该根轨迹图在复平面上圆的一部分：设+j是复平面上根轨迹的一点，则根据相角关系得：取正切：化简，得：即：所以，根轨迹的一部分是圆心在（-2，0），半径为的圆。法则6.根轨迹的起始角与终止角：例4-3.设系统开环传递函数为：解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j开环极点为0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).实轴上

7、(-，-2.5]，[-1.50]为根轨迹。2).根轨迹有4条分支：始于0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5；终于-1.5，-，-2+j，-2-j；3).无分离点；4).起始角：终止角：法则7.根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s=j，然后分别令其实部和虚部为零而求得。4-3.广义根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别与开环增益K*为可变的常规根轨迹。绘制参数根轨迹与常规根轨迹方法相同。只要在绘制参数根轨迹前，引入等效单位反馈系

8、统系统和等效传递函数概念。例4-6.分别有Ⅰ-比例，Ⅱ-为比例积分，Ⅲ-测速反馈控制系统。试分析Ta对系统性性能的影响，比较Ⅱ与Ⅲ在=0.5时的特点广义跟轨迹应用举例：系统Ⅰ系统Ⅱ系统Ⅲ解：2、3系统开环传递函数相同：