第二型曲线积分的定义

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§2 第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义 变力沿曲线作功. ?设一质点受如下变力作用F(x, y) ? (P(x, y), Q(x, y))沿曲线 L 从点 A 移动到点 B ,求力 F ( x, y ) 所作的功常力沿直线作功: 力 · 位移 首页 × ? F(x, y) ? (P(x, y), Q(x, y)) 1. 分割: 插入分点 M i (xi , yi ), i ? 0, 1, 2,?, n 近似代替 ? 2. Wi ? F(?i ,?i )? M i?1M i M i?1 M i ? (xi ? xi?1 , yi ? yi?1 ) ? (?xi ,?yi ) 其中 ?xi , ?yi 分别是曲线段 y M n ?M i?1 M i 在 x 轴与 y 轴上的投影 ? M (此投影不一定是非负的) (? ,? ) i? i i ? ? ?于是 ? ? F( i , i ) Wi ? F(?i ,?i )? M i?1M i ? M1 ? M i?1 ? ? ? P(?i ,?i )?xi ? Q(?i ,?i )?yi M 0 x O 首页 × 3. 求和 n ? W ? ? F(?i ,?i )? M i?1 M i i?1 n ? ?? P(?i ,?i )? xi ? Q(ξi ,?i )? yi ? i?14. 取极限 n ? W ? lim F(?i ,?i )? M i?1 M i ||T||?0 ? i?1 n ? lim ? P(?i ,?i )? xi ? Q(ξi ,?i )? yi ? ||T||?0 ? i?1其中 ||T ||? max{?si }, ?s 是第 i 个小弧段的弧长. 1?i?n i 首页 × 定义1 设函数 P (x,y)与 Q(x,y) 定义在 平面有向可求长度曲线 L: AB, 对 L 的任一分割 T 它把 分成 个小曲线段: ? L n M i?1 M i i 1, 2,?, n 其中 M0 = A, Mn = B . 记各小曲线段 M i?1 M i的弧长为 ?s , 分割 的细度 ||T ||? max ?si , i T 1?i?n 分点 Mi 的坐标为 ( xi , yi ), 并记 ?xi ? xi ? xi?1 , ?yi ? yi ? yi?1 , (i ? 1, 2,?, n) 在每个小曲线段 M i?1 M i上任取一点 (?i ,?i ), 若极限 首页 × n n lim P(?i ,?i )?xi ? lim Q(?i ,?i )?yi ||T||?0 ? ||T||?0 ? i?1 i?1存在,则称此极限为函数 P(x, y), Q(x, y),沿有向曲线 L的第二型曲线积分,也称为对坐标的曲线积分,记为 P(x, y)dx ? Q(x, y)dy 或 P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?L ?AB 也记为 P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?L ?L 或 P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?AB ?AB 简记为 Pdx ? Qdy ?L 首页 × 若 L 为封闭曲线,则记为 Pdx ? Qdy ?L ? ?若记 F(x, y) ? (P(x, y),Q(x, y)), ds ? (dx,dy), ? ?则记 Pdx ? Qdy ? F ? ds ?L ?L ?于是,力 F(x, y) ? (P(x, y),Q(x, y)), 沿有向曲线 L对质点所作的功为 W ? P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?L 首页 ×类似地, ? F(x, y, z) ? (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))沿空间有向可求长度曲线 L 的第二型曲线积分记为 ? ? F ?d s ? P(x, y, z)dx ? Q(x, y, z)dy ? R(x, y, z)dz?? ?? 其中 ? d s ? (d x , d y , dz) 首页 ×第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关,对同一曲线,当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时,每一小曲线段的方向都改变,从而小曲线段的投影 ?xi , ?yi 也随之 改变符号,故有 P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ? ? P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?AB ?BA而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的 乘积,它与曲线 L 的方向无关. 这是两类曲线积分的 一个重要区别. 首页 × 第二型曲线积分的性质 1. 若第二型曲线积分 P dx ? Q dy, P dx ? Q dy ?L 1 1 ?L 2 2 存在,则 P dx ? Q dy ? P dx ? Q dy ? (P ? P )dx ? (Q ? Q )dy?L 1 1 ?L 2 2 ?L 1 2 1 2 ?Pdx ? ?Qdy ? ? Pdx ? ? Qdy ?L ?L ?L 其中 ? , ? 为常数. 首页 ×2. 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 Li ( i ? 1,? ,k), 则 P(x, y)dx ? Q(x, y)d y ?L k ? P(x, y)dx ? Q(x, y)d y ??L i?1 i 说明 ? 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! ? 定积分是第二类曲线积分的特例. 首页 × 二、第二型曲线积分的计算 设 P(x, y), Q(x, y) 在有向光滑曲线 ? x ? ? (t) L : ? ? ? t ? ? ? y ?? (t)上连续, t =α对应曲线 L 的起点 t =β对应于曲线 L 的 终点,则 P(x, y)dx ? Q(x, y)d y ?L ? ? ? P[? (t),? (t)] ??(t) ? ? ? ? ? t ? ?? Q[ (t), (t)] ( ) d t 首页 × x ? ? (t) 对空间有向光滑曲线 L: y ?? (t) ? ? t ? ? , z ? ? (t)参数 t =α对应曲线 L 的起点 t =β对应于曲线 L 的终点,则 P(x, y, z)dx ? Q(x, y, z)d y ? R(x, y, z)d z?L ? ? ? ? ? ? ?? ?? P[ (t), (t), (t)] (t) ? Q[? (t),? (t), ? (t)]? ?(t) ? R[? (t),? (t), ? (t)]??(t )?d t 首页 × 例 计算 xy dx ? ( y ? x)dy, 其中 分别 1 ?L L 沿如图所示路线 ⑴ 直线 AB y B(2,3) 3 解 直线 AB 的参数方程为 ? x ? 1?
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