专题3.1 导数以及运算、应用-2015版3-2-1备战2016高考精品系列之数学(理)(原卷版)

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第三章 导数专题1 导数以及运算、应用(理科)【三年高考】1.【2015高考福建,理10】若定义在上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是( )A. B. C. D. [来源:学#科#网Z#X#X#K]2.【2015高考新课标2,理12】设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )A.    B.C.    D.3.【2015高考新课标1,理12】设函数=,其中a1,若存在唯一的整数,使得0,则的取值范围是( )(A)[-,1) (B)[-,) (C)[,) (D)[,1)[来源:Z。xx。k.Com]4. 【2015高考新课标1,理21】已知函数f(x)=.(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线 的切线;(Ⅱ)用 表示m,n中的最小值,设函数 ,讨论h(x)零点的个数.5.【2015高考新课标2,理21】设函数.(Ⅰ)证明:在单调递减,在单调递增;(Ⅱ)若对于任意,都有,求的取值范围.6.【2014江西高考理第14题】若曲线上点处的切线平行于直线,则点的坐标是________.7. 【2014陕西高考理第10题】如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( ) (A) (B) (C) (D)8. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数,.证明:(Ⅰ)存在唯一,使;(Ⅱ)存在唯一,使,且对(1)中的.9. 【2014高考大纲理第22题】函数.(I)讨论的单调性;(II)设,证明:.10. (2013年高考福建卷理科8)设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是( )A. B.是的极小值点 C. 是的极小值点 D.是的极小值点 11. (2013年高考北京卷理科18)设l为曲线C:在点(1,0)处的切线.(I)求l的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方12.(2013年高考山东卷理科21)已知函数(是自然对数的底数,).(Ⅰ)求的单调区间、最大值;(Ⅱ)讨论关于的方程根的个数.【2016年高考命题预测】的几何意义为背景设置成的导数的综合题为主要考点.也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题,如求切线,或求参数值,重点考查运算及数形结合能力,以及构造新函数等能力.[来源:学&科&网]【2016年高考考点定位】高考对导数的考查主要有导数的运算,导数的几何意义,利用导数判断单调性,求最值,证明不等式,证明恒成立,以及存在性问题等,难度较大,往往作为把关题存在.考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1.常见函数的求导公式.(1)(C为常数);(2);(3);(4);(5);(6);(7)且;(8).2.两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: 法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:‘=(v0).3.形如y=f的函数称为复合函数.复合函数求导步骤:分解——求导——回代.法则:y'|= y'| ·u'|【规律方法技巧】(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.【考点针对训练】(1)求的导数;(2)求的导数;(3)求的导数;(4)求y=的导数;(5)求y=的导数.考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.也就是说,曲线在点处的切线的斜率是.相应地,切线方程为.【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤:(1)求出函数在的导数,即曲线在点处切线的斜率;(2)在已知切点和斜率的条件下,求得切线方程特别地,当曲线在点处的切线平行于轴时(此时导数不存在),可由切线的定义知切线方程为;当切点未知时,可以先设出切点坐标,再求解.【考点针对训练】1.【2015届江西省上饶市重点中学高三六校第二次联考】已知a、b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,则的取值范围是( ) A.(0,) B.(0,1) C.(0,) D.2.【2015届安徽省马鞍山市高中毕业班第三次质检】已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直,并交于点,则点的坐标可能是( )A. B. C. D.考点三、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减;【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.(1)求函数的导数(2)令解不等式,得的范围就是单调增区间;令解不等式,得的范围就是单调减区间(3)对照定义域得出结论.【考点针对训练】1.(江苏省苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研(一)数学试题19).已知函数.(1)当时,求的单调减区间;(2)若方程恰好有一个正根和一个负根,求实数的最大值.2.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】已知函数,其中为实常数.(Ⅰ)判断在上的单调性;(Ⅱ)若存在,使不等式成立,求的取值范围.考点五、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.【考点针对训练】1.【2015届山东省威海市高三第二次高考模拟】设为函数的导函数,已知,则下列结论正确的是 ( )(A)在单调递增 (B)在单调递减 (C)在上有极大值 (D)在上有极小值2
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