5.捆扎水管的学问

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1、2014年温州市小学数学小课题评比学校：苍南县钱库小学成员姓名：蔡勤学陈耀坤邓家宝小课题题目：捆扎水管的学问指导教师：林尾维9捆扎水管的学问一、问题提出前几天，我们学习了圆的周长，在数学书66页，遇到了一个题目,如图1：图1看见这个问题，我想：这不就是捆扎起来的水管的横截面吗？要计算出它们的周长，到底有没有计算的方法呢？能不能用我们的能力研究出一个简易的方法或者说一个数学公式呢？我们带着这些问题，开始了“捆扎同尺寸的多根圆形管所用绳子长度”的规律的研究。二、研究过程首先，我们就针对遇到的那个问题进行了解决。（一）计算2个圆：4个圆：9个圆：图2图3图42×7+7π本文π取3.14。

2、4×7+7π8×7+7π=2×7+7×3.14=4×7+7×3.14=8×7+7×3.14=14+21.98=28+21.98=56+21.98=35.98（cm）=49.98（cm）=77.98（cm）这3个计算是我用最简单的方法“数线段”做的——9数出线段的数量乘圆的直径加上圆的周长。但是我们觉得这方法太简单了，所以我们决定找出一个新的计算公式。经过计算，我发现图2和图3的线段数都等于它们圆的个数，可是图4的却不等，这是为什么呢?我们反复观察、比较，终于发现中间那个圆是没有算线段的，那么，算式9-1=8（个），只有其他8个圆有算线段。不禁，我想出了一个计算公式：绳子的长度=圆的

3、直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长。如果出现像图2，图3这样的，绳子没有碰到的圆的个数为0的时候，当然就不算。这个公式三种情况可以通用。但，是不是所有的捆扎方式都可以对应这个新的公式呢？（二）提出猜想:我们大胆得提出猜想：无论水管的捆扎方式是怎样的，绳子的长度=圆的直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长。（三）研究一些水管的捆扎方式，并计算。（除接头外）我们小组走访五金店进行调查，出现了各种各样的捆扎方式，并研究了一番。我们发现多根圆形管捆扎后的水管的横截面的不同，就以最外圈的圆心连接后所成的图形为标准进行分类，整理如下表1，就是找到的四种捆扎方式。

4、表1A线性（2个）B种方形C种正三角形D种等腰梯形我们碰到的题目和五金店中的圆柱物体捆扎都是同类型而且尺寸相同的方式，所以我们所有的研究对象都是同尺寸的圆形管。就以我把老板店里的一些同尺寸的水管摆起来捆扎在一起，并计算和测量（除接头外），看看是否对应公式。我们通过测量、数，整理得到如下表2、表3、表4、表5：表2A种线形（2个）（单位：cm）捆扎形状水管个数2个水管直径10水管周长51.4是否对应公示是9表3B种方形（单位：cm）捆扎形状水管个数4个8个9个16个25个水管直径1010101010水管周长71.4111.4111.4151.4191.4是否对应公示是是是是是表4C种

5、正三角形（单位：cm）捆扎形状水管个数3个6个10个21个水管直径10101010水管周长61.491.4121.4181.4是否对应公示是是是是表5D种等腰梯形（单位：cm）捆扎形状水管个数5个7个9个12个14个水管直径1010101010水管周长81.4101.4111.4131.4141.4是否对应公式是是是是是9看图，我们发现A、B、C、D这四种捆扎方式都可以对应我猜想出的公式。但是，为什么B种最外圈的圆心连接后成方形，有4个角，C种方形最外圈的圆心连接后成正三角形，有3个角？为什么形状不同而结果都符合我们猜出的公式呢？我决定深入了解这个问题。（四）深入研究首先，A种是一

6、种线形，各个圆心连接没有跟其他三种这样的角。于是，我们就从B种、C种、D种类型中选择每种最典型的，分别4个圆、3个圆和5个圆。为了便于分析比较，我们用“几何画板”这个画图软件又画出了这样的图，画出其他三种捆扎方式，如图5、图6、图7。图5图6图7我们仔细量、观察，发现：B种方形中4个圆组成的∠1、∠2、∠3、∠4这4个角，每个是90°，加起来刚好是是360°，算式是∠1+∠2+∠3+∠4=360°，刚好一个圆的圆心角所拥有的度数。所以我们可以把一圈绳子分成8段，其中有4段线段的长度分别与圆的直径相等，都是10cm;其他4段都是四分之一个圆弧，这些四分之一个圆弧合起来的长度刚好等于一

7、个圆的周长。那么图5等于：10×4+10×3.14=40+31.4=71.4（cm）C种正三角形和B种方形和好像一样，所有的角加起来也等于360°，但是它只有3个角，每一个是120°，也是一个圆所拥有的度数，算式是∠1+∠2+∠3=360°。所以，我们也可以把一圈绳子分成6段，其中有3段线段的长度分别与圆的直径相等，也都是10cm；其他3段都是三分之一个圆弧，这些三分之一个圆弧合起来的长度也刚好等于一个圆的周长。图6绳子的长度为：10×3+10×3.14=30+31.