圆周运动追击过程中的共线问题探究

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1、圆周运动追击过程中的共线问题探究2010年上海高考试题第24题是一道圆周运动追击过程小的共线问题，开始网上的解答基本上为8次，在2011届学牛复习过圆周运动后，我们让全年级学牛:做这道题，结果选正确答案14次的只占学生总数的16%,通过对本题的课堂探究，进行方法归并，学生清晰地学握了圆周运动追击过程中共线问题的棊木思维方法，进一步提高了学生的探究能力。问题1：如图1,三个质点a^b、c质量分别为加］、®、M（M»»m2）•在质点C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比乙：％=1:4,求a、b两质点圆周运动的周

2、期之比？从图示位置开始,在b运动一周的过程中，质点a、b、c共线了多少次？Tr-1分析与探究：周期之比由开普勒第三定律，二=（丄）2二丄。Thrb8三质点共线问题探究方案（1）：纠正学生错谋的最基木方法是从物理运动的过程屮去探究，酋先建立清晰的运动过程图。以b起始位置为起点，分析质点b运动一周，a、b、c共线几次，由于质点b的周期是a的8倍，质点a运动一•周，质点b运动了一个周长的八分Z—，为了分析方便，将质点a、b运动的圆弧以质点b的起始位置点开始等分成八份，分为8个区，如图2-1。首先分析质点b运动第1个八分Z—圆弧的过程，该过程质点a运动了第1

3、个周长，由于质点a的角速度是质点b的8倍，质点a在第1区从它的起始位置点到B点的运动过程中三质点不可能共线，质点a运动到第5区，质点a将与第1区运动的质点b和在圆心的质点c共线第1次。当质点a在第1区从D点返回到它的起始位置点时，此时质点b恰好运动到A点，由逆向思维分析，因质点a的角速度大于质点b,质点b从点A顺时针向它起始点运动，质点a从它的起始点顺时针向D运动，质点a在aD弧和质点b在Eb弧之间不可能与质点c共线，所以三质点不可能在第1区质点a由D点返回到它的起始点过程屮共线，如果据此推出全过程共线8次，为什么会错呢？我们需要进一步探究b运动第2

4、个八分之一圆弧过程。质点b运动到笫2个八分Z—圆弧过程，如图2-2。当质点a运动到第2区，三质点共线第2次，当质点a运动到第6区，三质点共线笫3次，质点b在本区域运动的过程中三质点共线了2次。如果据此推出后面的每个区均共线2次，全过程共线15次，为什么又会错呢？我们必须对全过程进行分析。对全过程进行研究，画出如图2-3至2-8的6个子过程图。当b运动到第3、4、6、7、8区域时,如图2-3、2-4、2-6、27、2-8所图2・2示，在这5个区域中运动时，分析过程与第2区域相同，在毎个对应的区域，三质点共线2次。当质点b运动到笫5区域时，分析方法与质点

5、b在第1区域运动类似，质点b运动到H时，质点a返回到起始位置处，由逆向思维分析，质点a在第1区从I返回到a的过002・6程中，三质点不可能共线，当质点b在第5区域从F点到H点过程中，三质点只共线1次,因而通过完整的过程分析得到在b运动一周的过程中，质点a、b、c共线了14次。三质点共线问题探究方案（2）：利用数学思维对物理问题进行定最探究，是研究物理问题最重要的方法。从追击角度来看，如图3所示，如果质点a运动的圆心角比质点b的圆心角多=&时，三质点第1次共线，然后每多绕行龙角度共线1次，设第n次共线，则多绕行的角度为，g=eU兀……（1）,由质点d、

6、b圆周运动分析其角度差为,Mp=(2)，当t=TB=STA……(3),由（1）（2）（3）式得：〃=15-2=14•…（余数），所以，三个质点共线14次。兀三质点共线问题探究方案（3）：根据物体运动过程的特征，由特殊方法解题是培养创新能力的重要途径。在质点b运动1周的过程小，质点a运动8周，质点a比质点b多运动7周，以b为参照物，质点a比质点b多运动7周的过程中，质点a比质点b每多运动一•周，三质点共线2次，这样，多运动7周，共14次。问题拓展：如图4所示，一个机械钟表的时针、分针位置如图,当时针旋转1周的过程屮，时针和分针共线多少次？找一个机械表來

7、，通过人工旋转，检验占主探究的答案。图4分析与解答：由于时针的周期是分针周期的12倍，所以吋针和分针在时针转1周的12小时内，两针共线22次。课堂上有机械表的同学周周立即形成研究小组，进行旋转检验，通过课后了解，每个同学课堂和课麻都亲手用自已或借来的机械表进行了检验。通过对圆周运动追击类问题的研究，从物理过程的分析、数学思想的应用、特殊方法的处理三个方而进行探究，能够使我们构建此类问题解决方案的基本体系，通过课堂或课后的实验检验，渗透了物理与生产生活、现代科技的联系，进一步激发学生学习物理的兴趣。