四脚方桌问题和双煎饼定理

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1、四条腿的家俱问题椅子能在不平的地面上放稳吗？・四条腿的家俱，如椅子、桌子等，往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地,放不稳，然而稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地。・试建立数学模型加以解释。［模型假设］•1•椅子四条腿一样长；•2•椅脚与地面接触处视为一点；•3•四脚的连线呈长方形；•4•地面光滑，即地面高度是连续变化的，可视为数学上的光滑曲面。•5•地面相对平坦，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。•问仁选择什么量来表示长方开纟椅子位置的改变？•用长方形绕它的对称中心0旋转代表椅子位置的改变。•问2：这种改变如何量化?•以对角线AC为x轴,心0为原点，建立直角坐标系。•长方

2、形ABCD绕0逆时针旋转角6后，转至AiBiCPi的位置，则AC与x轴正半轴的荚备e表示亍椅点，建立直角坐标系。•长方形ABCD绕0逆时针旋转角6后，转至AiBiCPi的位置，则AC与x轴正半轴的荚备e表示亍椅子位置的改变。•问3:椅子在某一位置是否着地如何量化?•一只椅脚着地，则它到地面的竖直距离为0,否则大于0。T8(D)A1A(C)/记A,B与C，D两脚到地面距离之和分别为f(0)与g(0),它们都是连续函数。注意：对任意e,f(e)g(e)=o。已知f(e)和g(e)是e的连续函数，且g(o)=o,f(o)>o,那么一定存在a,使f(a)=g(a)=0o0注意f(7T

3、)=g(0)=0,g(7T)=f(0)>0o令h(e)=f(e)-g(e),o则h(e)是关于e的连续函数，/C(A)V八B(D)D(B)DiA(C：o且h(0)=f(0)-g(0)>0,0h(7T)=f(7T)-g(7T)<0,o于是存在a,使h(a)=0o即f(a)=g(a)of(a)=g(a)=0o进一步思考•思考1:是否有另外的函数模型？•取对角线顶点到地面的距离之和。•思考2：四脚连线还可以是什么图形时，结论依然成立？•如：中心对称图形双煎饼问题・桌面上放着若干块不董叠的任意形状的均匀煎饼，问能否一刀将这些煎饼同时平分？•抽象为数学问题是：・在平面a放置着若干个任意

4、形状的不重叠的封闭图形，问能否用一直线将它们的面积同时平分？问题探索设计•1•确定多少个图形才有可能用一条直线将它们同时平分？•三角形，四边形，圆形等等。•结论1:一个或两个。•2•考察平面上只有一个封闭图形的情形•可以平分，且方式多样。•3.双煎饼问题•平面a放置着两个任意形状的封闭图形Q和比证明一定能找到一条直线将它们同时平分。向高维推广■对于空间的任意位置放置着的三个任意形状的封闭图形Q、P和R,—定可以找到一个平面将它们的体积同时平分o■该推广被数学家戏称为“三明治问题”o■意指必有一刀切下去，能把一个火腿三明治的火腿及上、下底面的两块面包各分为一半。0在平面a上，图

5、形Q与P之间取定一点0,过0画水平数轴0X。。将射线0X。绕0逆时针旋转至OX,OXo到0X的角为9(0°^0W180。)o可找到平分匕Q且与0X垂直的直线咕1q垂足分別为Bp与Bq,贝ijBp与Bq的坐标是关于。的函数，両丧为？(。)与Q(0),可知P(e)与Q3)均为连续函数。且P(180°)=-P(0°),Q(180°)=-Q(0°).问题转化为，找到％,使得p(0o)=Q(00)。令R(0)=P(0)-Q(0),则它是关于8的连续函数。R(0°)二P(0°)-Q(0°)二一P(180°)+Q(180°)=-[P(180°)一Q(180°)]=-R(180°),即R(

6、0°)R(180°)^0,所以必定存在0oe[O°,180°],使R(0o)=O,BPP(9o)=Q(0o)o此时图形P的平分线与Q的平分线合一，该直线将图形Q和P同时平分。