在问题变式中拓展思维在合作探究中演绎精彩

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1、在问题变式中拓展思维在合作探究中演绎精彩「记一堂高三复习公开课的教学设计与反思蒋茵（浙江省台州市第一中学318000）如何使高三复习课精彩高效？这是每一位数学老师积极探索的问题，也是新课程改革的目标之一•笔者认为，“问题变式，合作探究”教学模式在高三复习课教学中非常重要•近日,在“台州市高三数学复习研讨会”上，笔者有幸开设了一堂主题为“围绕目标善转化巧设点线活运算一一基于一类’直线、抛物线与圆’高考题的探究”的公开课•该课教学设计从一个直线与抛物线基础问题出发，采用变式教学方式，层层递进，演绎为对2011年浙

2、江省高考解析几何变式题的探究・现将教学设计及其反思整理如下，以期与同行交流.tr1.教学实录1.1问题驱动，互动探究问题如图1,已知抛物线c：x?=y,F为抛物线的焦点，A,B是抛物线的两个动点，且A,B在y轴同侧，如果直线FA的斜率与FB的斜率互为相反数，证明直线AB过定点，并求出这个定点?设计意图：引导学生自主读题，寻找解题目标，在学生求解思路的基础上完善求解方法引领学生回顾求解直线与圆锥曲线相交问题时设直线的2种常用方法，从中领悟函数和方程思想在求解此类问题中的应用・2=xy联立消去y得：（学生思考，展

3、示解法）生仁方法4因为k存在，所以设直线AB:yk玄b%2~~=022xkxb设A（x,x）,B（x，x）由韦达定理得：A=+>+==—240kb,Xix2k,XiX2b・下面我不知道该如何求解了？师：你要证明的结论（目标了是济么?生1：要证直线AB:ykxb淤定点，即找k,b的关系.师：这样的话，能否将条件中kk朝着你的目标去转化呢?AFBF将条件中k=-k向x=X2去转化即可・AFBF师：请你继续给岀解答过程生1：因为kk即AFBF+l

4、X)12，即k0（舍）或01，故直线AB:41kx—4过定点（o.4xx121・)44b师：很好！这位同学设的是目标直线，而且围绕目标进行合理转化法吗？处2：方法2如图2,延长AF交抛物线于点C.设直线AF:与x22罠歹，消去y得:天一kx1_，由韦达定理，得04•其他同学还有不同解4性可知1=•又因为直线AB:，化AB过定点(XAx)xBXX，即ABy(xa+xb)，因此，直线4(Or1).4师：很棒！2位同学的解法都很好•方法1从一开始直线的设法以及中段的解题分析都是从结论（目标）入手，属于“分析法”1.

5、2.学以致用，变式探究I9，而方法2恰恰相反，从条件入手师：对上述问题的条件能否作些修改，进而得到相应的给论呢？请大家思考.（学生分组讨论，给出下列变式.）变式1：如图3,把“F为抛物线的焦点”改为“抛物线上的点P（1,1f试探究：直线AB是否过定点？生3：用问题中的方法+==1可得到存J，化简得:=0x+1Xi1X210—+—=XiX22,故k2.因此直线AB不过定点.，但kAB罚定值・生4：用问题中的方法2,设尊R(A：y1k(x1)代入yx2,W：+1°kxk=+_=+_因为点P%抛物线上，所以Xk1,

6、上式中的kffik替换，从而XbA又因为直线AB:y(xx)xABxx所以直线ABAB，2xk+1,市为定值•一同理立方程，同生4化简得:Xk1.B师：很好！点的位置变了，但探究的方法没有改变•而且生3综合并优化了前2位同学的解法.继续思考，还能怎么改，能否探究出更一般性的结论呢？变式2：把“F_为抛物线的焦点”改为“抛物线上一点2k是否P(x,X)"，试探究：AB为定值？师：好，我们大家一起来做做看生6：22，即XakXXA0Xo同理可得X,Bkx，因此0kXXA0XXA0kxX2x(定值与Xo有关).AB

7、AB0=+_—设计意图：放手让学生去改变问题的条件或结论进行变式探究，巩固源问题中涉及的数学方法和探讨有没有更好的解法•从而激发学生的学习兴趣，启发学生提岀问题，培养学生大胆猜想、小心求证的数学品质•师：太棒了！这组同学运用特殊到一般的思想探究了一般性的结论•以上我们运用多种方法对一类直线与抛物线的问题进行求解，而在高考题中往往再引入条件(如圆)进行编题,来看这样一道高考变式题・变式3：如图4,已知抛物线Q.xy圆M2(4)21xy，设点P是抛物线C上一点，过点P作圆M的2条切线1和2,交y轴于点A,B,问：

8、是否存在点P,使线段AB被M平分？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由•(2011年浙江省数学高考文科试题第22题改编)图4图5生7：根据图形的对称性若线段AB被M平分，则PM丄AB・因此点P的坐标为（—2,4）.师：满足条件的点P只有一个吗？生7：还有（2,4）.师：相当精彩！数形结合，检验了解的个数（教师适时利用几何画板演示，帮助学生直观感受点P的位置.）17生8:变式4把“点M”改为“y