裂项相消法求和之再研究

裂项相消法求和之再研究

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1、裂项相消法求和之再研究一、多项式数列求和。(1)用裂项相消法求等差数列前n项和。即形如=cm+h的数列求前n项和此类型可设J=(An2+Bn)一[A(n-1)2+B(n—1)]=初+b左边化简对应系数相等求111A,B.则Sn=4]+•—卜a”=(A+B)—0+(4A+2B)—(A+B)+(94+3B)—(4A+2B)+…+(An2+Bn)-[A(n-1)2+B(n-1)]=An2+Bn例1:已知数列{陽}的通项公式为an=2n-lf求它的前n项和S”。解:令a”=(An2+Bn)-[A(n一l)2+B(h-1)J=

2、2h-1贝l^afl=2An+B-A=2n-lt(2A=2(A=l,[B-A=-]^[B=Ocin=n~—(/?—l)?SfJ=+⑦+色…+a”=1+2~—1+3~—2~+•••+a?*■—(n—1)~=n~(2)用裂项相消法求多项式数列前n项和。即形如匕=b”i严+b心严+..・+b“+%的数列求前n项和。此类型可设^=(c〃””+c』z+--+cln)-[cM(n-l)m+cm_{(n-1)W_1+…+轴-1)]=船』严+0/严+•・・+切+%上边化简对应系数相等得到一个含有m元一次方程组。说明:解这个方程组采

3、用代入法,不难求。系数化简可以用二项式定理,这里不解释。解出C],C2,…,cm0再裂项相消法用易知Sn=C””"+C』严+•••+¥例2:已知数列{色}的通项公式为色=/?,求它的前n项和S”。M:设a”=(An4A=1—64+3B=04A—3B+2C=0一A+B-C+D=O+Bn3+Cn2+Dn)-[A(n-l)4+B(n-l)3+C(n-I)2+D(n-1)]=A(4n3-6n2+4比一1)+B(3n2-3n+l)+C(2n-l)+D=4An3+(-6A+3B)n2+(4A-33+2C)n+(-A+B-C+D)

4、2+…+«(/?+!)、2)二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。(1)用裂项相消法求等比数列前n项和。即形如①严呵的数列求前n项和。这里不妨设QH1。(今=1时为常数列,前n项和显然为=an)此类型可设=Xqn-Aqn~3n+l_n2-3n,则有an=(A--)qn=aqn.从而有A--=a,A=-^-o再用裂项qqq-i相消法求得S?I=Aqn-A例3:已知数列{匕}的通项公式为色=3",求它的前n项和S”。94QQ,,+13"则有吹丁®"从而有仁,故仔〒丁・・・S”=吗+色+込…+色=g(3?—3+3?—3

5、?+3"—3?++…+3,?+,-3n)=

6、(3?,+1-3)(2)用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前n项和。即形如atJ=(an^-h)qn的数列求前n项和。此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法,其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设QH1,(g=1时为等差数列,不再赘述。)可设色=(加+B)g”-[心-1)+8]广1,贝!

7、有a”=[(Ag_A)M+Bg+A_B)g”T=(aqn+bq)旷',从而得到方程组—二两,继而解出A,Bo再用裂项相消法求得S“=(An+B)g”-B[Bq-^A-B=bqn

8、吆例4:已知数列{d”}的通项公式为色=/3",求它的前n项和S“。解:设an=(An+B)3n-[A(n-1)+B]3n_,,则有%=[2An+2B+A)3"_=3n-3n_,,3从而得到方程组[2A=3,解得A=2。a二色匚1.3曲一?口3’2B+A=0彳44B=——4/.S/i=6z]+«2+^---+^=^[32+3+3x32-32+5x33-3x32+•••+(2n-l)-3,,+1-(2n-3)-3/?J=^L(27?-l)-3,,+1+3](3)用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前n项和。

9、即形如色二+仇3严彳+••»/+%"的数列求前n项和。此类型有一个采用m次错位相减法的方法求出,但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。同样这里依然不妨设qHl,(q=1时为多项式数列,不再赘述。)下面介绍错位相减法的方法:设陽=(心”'"+氏/心+…+中+q)7T砒心-1严+心2(〃-1严2+…+3“-1)+坊)广o先对上式化简成%=(c〃y心+q_2兄心+…+C"+G)g"的形式,其中q,c;,・・・c心是用B(),q,…场来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个m元一次方程组,用代入法可以解出Bo,B

10、“・B心再用用裂项相消法求得Sn=(B』t+Bm_2nm-1(«+!)(/?+2)2(/?+!)(/?+2)+…+B+B°)q”-B°。例5:已知数列{匕}的通项公式为d”=z?.2“,求它的前口项和S〃。A=2从而得到J2A+B=0—A+B+C=0解:设色=(加2+心+02"—[A(〃一ly+BS—1)+02心,贝I」有色=(/V『+(2

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