《计量经济分析方法与建模》课件第二版 第11章 状态空间模型和卡尔曼滤波

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1、第十一章状态空间模型和卡尔曼滤波StateSpaceModelsandKalmanFilter上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡尔曼滤波(KalmanFiltering)。进入70年代初，人们明确提出了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量：理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循环要素）。状态空

2、间模型在经济计量学领域其他方面的大量应用请参见Harvey（1989）和Hamilton（1994）。1在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的，这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未来的值。状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。而实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态（如导弹轨迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状态都是一种不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反映了系统所具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种含有不可观测变量的模型被称为UC模型(Unobserva

3、bleComponentModel)。2UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的，必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。EViews状态空间对象对单方程或多方程动态系统提供了一个直接的、易于使用的界面来建立、估计及分析方程结果。它提供了大量的建立、平滑、滤波及预测工具，帮助我们利用状态空间形式来分析动态系统。3利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点：第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量)并入可观测模型并与其一起得到估计结果；其次，状

4、态空间模型是利用强有效的递归算法——卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。4§11.1状态空间模型的定义在本节中，我们仅就如何定义并预测一个线性状态空间模型做以简要的讨论。状态空间模型一般应用于多变量时间序列。设yt是包含k个经济变量的k1维可观测向量。这些变量与m1维向量t有关，t被称为状态向量。定义“量测方程”(measurementequation)或称“信号方程”(signalequation)为(11.1.1)其中：T表示样本长度

5、，Zt表示km矩阵，称为量测矩阵，dt表示k1向量，ut表示k1向量，是均值为0，协方差矩阵为Ht的不相关扰动项，即(11.1.2)5一般地，t的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(transitionequation)或称状态方程(stateequation)为(11.1.3)其中：Tt表示mm矩阵，称为状态矩阵，ct表示m1向量，Rt表示mg矩阵，t表示g1向量，是均值为0，协方差矩阵为Qt的连续的不相关扰动项，即(11.1.4)量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用表示6当

6、k1时，变为单变量模型，量测方程可以写为(11.1.5)其中：Zt表示1m矩阵，t表示m1状态向量，ut是方差为2的扰动项。7若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：(1)初始状态向量0的均值为a0，协方差矩阵为P0，即(11.1.6)(2)在所有的时间区间上，扰动项ut和t相互独立，而且它们和初始状态0也不相关，即(11.1.7)且(11.1.8)8量测方程中的矩阵Zt,dt,Ht与转移方程中的矩阵Tt,ct,Rt,Qt统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变，但是都是可以预先

7、确定的。对于任一时刻t，yt能够被表示为当前的和过去的ut和t及初始向量0的线性组合，所以模型是线性的。9例11.1一阶移动平均模型MA(1)(11.1.9)其中：E(t)=0，var(t)=2，cov(t,t-s)=0,通过定义状态向量t=(yt,t)可以写成状态空间形式量测方程：(11.1.10)状态方程：(11.1.11)这种形式的特点是不存在量测方程噪声。10对于任何特殊的统计模型，状态向量t的定义是由结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所建立的状态向量t

8、包含了系统在时刻t的所有有关信息，同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间模型的状态向量具有最小维数，则称为最小实现(MinimalR