函数的零点和方程的根

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1、2-2-41O1-2234-3-1-1yx3.1.1方程的根与函数的零点思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与X轴的交点有什么关系?2-2-41O1-2234-3-1-1yx方  程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函  数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象函数的图象与x轴的交点上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标(方程根的个数=对应函数图象与x轴交点的个

2、数)填空:x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oxy423-112Oxy423-112Oxy两个交点(-1,0),(3,0)一个交点(1,0)没有交点问题1:从该表你可以得出什么结论?问题2:这个结论对一般的二次方程和相应函数成立吗?方  程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函  数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象函数的图象与x轴的交点结论:一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标.由特殊到

3、一般性的归纳:x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oy423-112xOxy423-112Oxy两个交点(-1,0),(3,0)一个交点(1,0)没有交点判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根x1x2x1(x1,0),(x2,0)(x1,0)问题3:其他方程与函数之间也有同样结论吗?方程f(x)=0的实数根就是相应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫

4、做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点等价关系:函数零点既是对应方程的根,又是函数图象与x轴交点的横坐标!例2:求下列函数的零点.强调:函数的零不是点,是一个实数.求零点的步骤:(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0;(3)写出零点(1)(2)观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:在区间[-2,1]上有零点______;f(-2)=_______,f(1)=_______,f(-2)·f(1)_____0(“<”或“>”).在

5、区间(2,4)上有零点______;f(2)·f(4)____0(“<”或“>”).-1-45<3<探究:2-2-41O1-2234-3-1-1yx问题4:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点?零点存在性的探究:发现:函数零点的左右两侧函数值乘积小于0观察函数的图象并填空:①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“<”或“>”).在区间(a,b)上______(有/无)零点;②在区间(b,c)上f(b)·f(c)_____0(“<”或“>”).在区间(b,c)上______(有/无)零点;

6、③在区间(c,d)上f(c)·f(d)_____0(“<”或”>”).在区间(c,d)上______(有/无)零点;有<有<有

7、就是方程f(x)=0的根.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.函数零点存在性定理:xyObacxyOabc例3.判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例(1)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.()(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(

8、b)≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.()x1234567f(x)239–711–5–12–26那么函数在区间[1,6]上的零点至少有()个A.5个B.4个C.3个D.2个2、函数f

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