【湘教版】2019年春九年级数学下册优秀教案(含反思):2.3 垂径定理

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*2.3 垂径定理1、进一步认识圆是轴对称图形;2、能利用圆的轴对称性,通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题;(重点)3、认识垂径定理及推论在实际中的应用,会用添加辅助线的方法解决问题、(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗?它又名“安济桥”,位于河北省赵县,是我国现存的著名的古代石拱桥,距今已有1400多年了,是隋代大业年间(公元605~618年)由著名将师李春建造的,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶、它的主桥拱是圆弧形,全长50.82米,桥宽约10米,跨度37.4米,拱高7.2米,是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥、你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗?二、合作探究探究点一:垂径定理【类型一】 利用垂径定理求边 如图,点A、B是⊙O上两点,AB=10cm,点P是⊙O上的动点(与A、B不重合),连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥PB于F,求EF的长、解析:运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线,然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系,从而解决问题、解:在⊙O中,∵OE⊥AP,OF⊥PB,∴AE=PE,BF=PF,∴EF是△ABP的中位线,∴EF=AB=×10=5(cm)、方法总结:垂径定理虽是圆的知识,但也不是孤立的,它常和三角形等知识综合来解决问题,我们一定要把知识融会贯通,在解决问题时才能得心应手、【类型二】 动点问题 如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围、解析:当点P处于弦AB的端点时,OP最长,此时OP为半径的长;当OP⊥AB时,OP最短,利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长、解:作直径MN⊥弦AB,交AB于点D,由垂径定理,得AD=DB=AB=4cm.又∵⊙O的直径为10cm,连接OA,∴OA=5cm.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD==3cm.∵垂线段最短,半径最长,∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结:解题的关键是明确OP最长、最短时的情况,灵活利用垂径定理求解、容易出错的地方是不能确定最值时的情况、探究点二:垂径定理的实际应用 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是________m.解析:本题考查垂径定理,∵OC⊥AB,AB=300m,∴AD=150m.设半径为Rm,根据勾股定理可列方程R2=(R-50)2+1502,解得R=250.故答案为250.方法总结:将实际问题转化为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答、三、板书设计教学过程中,强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关、在圆中求有关线段长时,可考虑垂径定理的应用、
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