椭圆几何性质

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1、椭圆一.椭圆定义注意:

2、PF1

3、+

4、PF2

5、=2a>2c第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于∣F1F2∣)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距.第二定义:到定点的距离和到定直线的距离之比是常数:e=c/a(0

6、的中心.(±a,0)和(0,±b)(±b,0)和(0,±a)A1A2叫长轴,B1B2叫短轴,且

7、A1A2

8、=2a,

9、B1B2

10、=2be=c/a(0<e<1,且e越小,椭圆越接近圆)三.椭圆的几何性质标准方程图形xyOA1A2B1B2xyOA1A2B1B2F2F2准线焦三角如图:△PF1F2称作焦三角形xyOA1A2B1B2F1F2P(a>b>0,且c2=a2-b2)焦点在x轴上()焦点在y轴上()1.若

11、MF1

12、+

13、MF2

14、=2a(2a是常数)2.标准方程求椭圆标准方程的方法:----------待定系数法.当2a>

15、F1F2

16、时

17、,点M的轨迹是________;当2a=

18、F1F2

19、时,点M的轨迹是________;当2a<

20、F1F2

21、时,点M的轨迹是________.椭圆线段F1F2不存在求椭圆标准方程的步骤:(1)确定焦点位置,设椭圆的标准方程(2)求a,b(常建立方程组)(3)下结论1.判断下列方程是否表示椭圆,若是,求出a,b,c.(4)4y2+9x2=36(不是)(是,a=2,b=c=)(不是)(是,a=3,b=2,c=)(5)若表示椭圆,则k的取值范围是____________.(-16,4)∪(4,24)注:方程Ax2+By2=1在A,B>0且

22、A≠B时表示椭圆.焦点在x轴上的椭圆(-16,4)2.若动点M到F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2,则M的轨迹是__A.椭圆B.直线F1F2C.线段F1F2D.直线F1F2的中垂线复习检测108(0,8),(0,-8)16a=10,2a=20,20-6=14145或34.求适合下列条件的椭圆的标准方程:注:1.当焦点位置不确定时,应分类讨论;2.椭圆的一般方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n)1.若椭圆的两焦点将长轴三等分,那么两准线间距离是焦距的()A.18倍B12倍C9倍D4倍基础练习:C2.若椭圆的焦点在

23、x轴上,焦点到短轴顶点的距离为2,到相应准线的距离为3,则椭圆的标准方程为.x2/4+y2/3=13.求适合下列条件的椭圆的离心率(1)椭圆的两焦点把椭圆的对称轴上夹在两准线间的线段三等分。(2)椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为12004.已知椭圆经过原点,并且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为_______1/2CAA题型1.椭圆的定义与方程例1.已知动圆P过定点A(-3,0),并且在圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,求动圆圆心P的轨迹方程.ABPOyx题型2.椭圆的几何性质(焦三角形中的问

24、题)练习:考例2的变式;例2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=600(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.题型2.椭圆的几何性质(焦三角形中的问题)例.在椭圆上求一点P,使它到直线L:3x+4y-50=0的距离最大或最小,并求出这个最大最小值。变式.(1)求3x+2y的最大值;(2)求x2+y2的最大值.小结:1).三角法2).转为二次函数(注意变量范围)3).数形结合题型3.椭圆中的最值小结:1.三角代换,转化为三角函数求最值;2.转化为二次函数求最值(注意自变

25、量的范围);3.数形结合求最值:利用第一或第二定义、利用三角形不等式、利用边界点或线、利用光线路径最短(对称)4.利用隐含的不等关系,如均值不等式,点在椭圆内,判别式△等题型六、最值问题(范围问题)1.已知椭圆内有一点P(1,-1),F是椭圆的右焦点,在椭圆上有一点M,使

26、MP

27、+2

28、MF

29、的值最小,求M的坐标.变式:⑴若

30、MP

31、+

32、MF

33、的最小值?⑵

34、MP

35、-

36、MF

37、的值最小(3)

38、MP

39、+

40、MF

41、的值最小(4)

42、MF

43、的最小值(5)MA

44、的最小值,其中A(0.5,0)题型3.椭圆中的最值2.P193.考例4变式3、设p(x,y

45、)是椭圆上的一点,F1为左焦点,求的最大值和最小值.题型3.椭圆中的最值

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