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1、概率统计与计算机应用专题软件测试数据的统计分析范年柏（主讲）Email:nbfan6203@163.comTel:0731-8821976软件学院概率的公理化定义设试验的样本空间为Ω，随机事件A是Ω的子集，P(A)是A的一个实值函数，且满足下列三条公理，则称函数P(A)为事件A的概率.公理1（非负性）对于任一事件A,有0≤P(A)≤1;公理2（规范性）P(U)=1;公理3（完全可加性）若事件互不相容,则1.知识点：假设：1）试验在相同的条件下可重复；2）试验的所有可能结果是明确可知道的、并且不止一个；3）每次试验只出现可能结果中的一个，但试验前不能断定哪一个会出现。Nextpage运
2、算概率的应用范围:1.算法分析;2.软件测试.逻辑、代数和其他数学科学都是建立在其公理体系基础上发展起来的。在此不一一赘述。离散的密度有不少，二项分布，泊松分布，巴斯卡分布。二项分布:B(n,p)(当n很大时，常用正态分布来逼近）连续的密度也有不少，正态分布，指数分布，F分布和卡方分布等:正态分布:假设检验的基本步骤：1）根据给定问题提出原假设H0和备选假设H1;2）寻找检验统计量，并在H0为真下推导统计量的分布；3）给定显著水平，确定检验的拒绝域W;4）作出判断：若p≤，则拒绝H0，接受H1；若p>，则不拒绝H0。1-α为置信水平显著水平置信下限LP{x≥L}≥1-α很多情
3、况都使用贝叶斯方法，在不知道密度函数的形式下，如果要用贝叶斯方法，必须先确定一种密度类型。统计学提供了很多密度函数，对称的，非独称的，厚尾的，可以选取拟合最好的，离散的密度也有不少，二项分布，泊松分布，巴斯卡分布等等，甚至还可以是混和分布。应用贝叶斯方法先验分布和数据的分布选择是很讲技巧的，最好拟合得好而且能显式积分，这数学形式漂亮无需借助数值计算方法。如何建立数学模型！（例1：软件测试）软件测试数据的统计分析张志华（工程数学学报，2005年02月Vol.22No.1pp53-57)软件可靠性是软件质量的重要属性。为了减少软件所含错误或缺陷,使软件具有高可靠性,在软件开发的各个阶段均
4、必须进行大量测试。作为一种重要的统计测试方法,分域测试方法[1,2]（ProwellSJ,TrammellCJ，何国伟等）广泛应用于软件实际测试之中,由于分域测试能够反映软件的实际使用情况,因此利用其测试所得到的试验数据可对软件可靠性进行评估,研究分域测试数据的统计处理方法成为软件可靠性评估问题中的重要内容。由于分域测试所获得的试验数据常常是成败型分组数据,因此,许多文献[3,4,5,6]借助于二项分布对分域测试数据的统计处理方法进行研究。文[3]（MillerWM,MorellLJ,NoomanRE）利用Bayes方法对无失效分组数据进行处理（假设X表示特征,K表示类别.bayes
5、方法需要知道给定特征X属于K类的后验密度.根据bayes公式：p(K
6、X)=p(X
7、K)*p(K)/p(X),可以根据后验概率比来判定属于哪一类.）,该方法可以利用软件开发过程中的先验信息,但该方法并没有讨论软件可靠度的综合评估问题,特别是软件先验信息的确定存在不合理性[7]（朱鸿)文[4,5,8]借助成败型数据的统计处理方法(又称为Thayer-Lipow-Nelson可靠性模型)处理分组数据,它实际上是对文[4,7]的方法的推广,但这种推广并没有进行数学证明。文[9]（张志华）构造出一个反例说明文[4]（TsoukasMZ,DuranandJW,NtafosSC.）的这种推广是错
8、误的,所得软件可靠度的置信下限是冒进的。本文研究了软件分组数据的统计分析方法,利用样本点排序法得到了软件可靠度的最优置信下限。第2节建立了软件分域测试的可靠性模型;在第3节,我们利用分域测试数据的样本点排序法获得了软件可靠度置信下限;在第4节中,我们研究了该置信下限的性质;最后给出了一个例子说明本文方法的可行性。2.软件分域测试的可靠性模型软件实际上可视为是软件输入数据空间(记为D)到输出数据空间（记为D)的函数。所谓分域测试就是首先将输入数据空间D划分为k个子集{D1,···,Dk},其中在每个子域Di中随机选择一个或多个测试用例对软件进行测试。根据软件的操作剖面，在规定时间内随机
9、地选择测试用例对软件进行测试能够获得准确输出结果的概率称为软件可靠度。在子域Di中随机选择测试用例能够得到正确输出结果的概率称为子域的可靠度。设k个子域的可靠度分别为R1,R2,···,Rk，按照任务剖面随机地在软件的输入数据空间中选择一个数据落入子域Di的概率为pi，显然p1+···+pk=1，则软件的可靠度为实际上概率p1,···,pk一般可以根据操作剖面获得。为了估计软件可靠度,首先对R1,···,Rk进行估计。设在子域Di中随机选择ni个测试用例,
