概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布

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概率论与数理统计 第四章 二维随机 变量及其分布第四章 二维随机变量及其分布 1 二维随机变量及随机变量的独立性 2 绘图环境的设置 3 图形的绘制和编辑第一节 二维随机变量及随机变量 的独立性 1 二维随机变量的概念 2 随机变量的独立性 一、二维随机变量的概念定义1 设E随机试验E的样本空间为 ? ,而X,Y是定义在 ? 上的随机变量,则二维向量(X,Y)称为二维随机变量(2-dimensional random varibable),相应地,称(X,Y)的取值规律为二维分布。 一、二维随机变量的概念定义2 设(X,Y)为二维随机变量,称 F(x, y) ? P(X ? x,Y ? y) 为的联合分布函数(Joint distribution function)。其中x,y 是任意实数。称 = 为X的边缘分布函数(Margial distribution function),F Y ( y) ? P (Y ? y ) 为 Y的边缘分布函数。 FX (x) ? P(X ? x , Y ? ??) ? lim F(x , y) ? F( x, ??) y??? F (y) ? P(X ? ??, Y ? y) ? lim F(x , y) ? F(?? , y) Y x??? 一、二维随机变量的概念联合分布函数F(x,y)有如下的性质:1. 0 ? F(x, y) ? 12. F ( x , y )关于x、关于y单调不减;3. F ( x , y )关于x、关于y右连续 lim F(x, y) ? 0 , lim F(x, y) ? 1 lim F(x, y) ? 0 lim F(x, y) ? 04. x??? x??? y??? x??? y??? y???5. P(x1 ? X ? x2 , y1 ? Y ? y2 ) ? F(x2 , y2 ) ? F(x2, y1 ) ? F(x1 , y2 ) ? F(x1 ,y1 ) 二、随机变量的独立性定义3 设(X,Y)为二维随机变量。若对于任意实数x,y,有 F ( x , y ) ? F X ( x ) F Y (y ) ,即 ,称X,Y相互独立(Mutually independent)。n维随机向量或 ( X 1 , ? , X n )联合分布函数为 ( F x1 , ?, xn ) ? P(X1 ? x1 , ?, X n ? xn ) 第二节 二维离散型随机变量1 二维离散型随机变量概念2 二维离散型随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量概念定义4 若二维随机变量(X,Y)的可能取值是有限多对或可数无穷多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量,称它的分布为二维离散型分布。定义5 二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为 (xi , y j ), (i, j ? 1,2,...)称 P (X ? x i , Y ? y j ) ? p ij 为(X,Y)的联合分布律(Joint probability distribution),其中 pij ? 1 0 ? pij ? 1 ?? j?1 i?1 一、二维离散型随机变量概念定义6 称 ? P(X ? xi ) ? ? pij ? pi? i ? 1 , 2 ,? j?1为X的边缘分布律。 称 ? P(Y ? y ) ? p ? p j ? i j ? j j ? 1 , 2 , i?1 ?为Y的边缘分布律。 一、二维离散型随机变量概念称 pi j P( X ? xi Y ? y j ) ? i ? 1 , 2 ,? p? j为在 条件下随机变量X的条件分布律 Y ? y j(Conditional distribution)。称 p P( Y ? y X ? x ) ? i j j i j ? 1 , 2 , pi? ?为在 X ? xi 条件下随机变量 的条件分布律。一、二维离散型随机变量概念 二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律表1 一、二维离散型随机变量概念例1 设随机变量X在1,2,3,4中等可能地取值,另一个随机变量Y在1 中等可能地取一整数值,求(X,Y)的联合分布律,边缘分布律,条件分布律,并判断X与Y是否相互独立。解 由乘法公式求得(X,Y)的联合分布律为,’ P( X ? i,Y ? j) ? P(X ? i)P(Y ? j X ? i) 1 1 = 4 i (1 ? j ? i ? 4)一、二维离散型随机变量概念 表2 一、二维离散型随机变量概念容易求得边缘分布律并可验证X与Y不是相互独立的。 p由 P (Y ? j X ? 1) = 1 j ,(j=1,2,3,4), p得 1?在X=1的条件下,Y的分布律为二、二维离散型随机变量函数的分布 例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为: 求:(1)Z=2X+Y (2)Z=XY的分布律。二、二维离散型随机变量函数的分布 解:由 的联合分布律可列出下表二、二维离散型随机变量函数的分布 由上面的列表可得 (1)Z=2X+Y的分布律为: (2)Z=XY的分布律为: 第三节 二维连续型随机变量1 二维连续型随机变量概念2 二维连续型随机变量函数的分布3 常见的二维连续型随机变量的联合分布 一、二维连续型随机变量概念定义7 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,如果存在着一个二元非负实值函数f(x,y),使得对任何 x,y有 x y F(x, y) ? f (x, y)dydx ??? ???则(X,Y)二维连续型随机变量, f(x,y)为二维随机变量 的联合概率密度(Joint probability density function),简称联合密度函数。 一、二维连续型随机变量概念联合密度函数f(x,y)具有下列性质:1. f (x, y) ? 0 ?? ??2. f (x, y)dxdy ? 1 ??? ???3. F ( x , y ) 为连续函数,且在f(x,y)的连续点处, ? 2 F(x, y) ? f (x, y) ?x?y 一、二维连续型随机变量概念定义8 称 ?? f (x) ? f (x, y)dy (?? ? x ? ??) X ???为X的边缘密度函数。 称 ?? f (y) ? f (x, y)dx (?? ? y ? ??) Y ???为Y的边缘密度函数。 一、二维连续型随机变量概念 f (x, y) ?定义9 称 f X Y (x y ) 为在Y=y条件下X的条件概率密 fY (y) f (x, y)度,称 fY X (y x) ? 为在X=x条件下Y的条件概率密度. f X (x)定理2 设(X,Y)为二维连续型随机变量,则X与Y相互独立等价于 f (x, y) ? fX (x) fY (y) 一、二维连续型随机变量概念例3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?ce?(x? y) , x ? 0 , y ? 0 f (x , y) ? ? ? 0 , 其他 ,求:(1)常数c;(2)P ( X ? Y ) ;(3)边缘密度函数; (4)条件密度函数;(5)判断X ,Y的独立性。 一、二维连续型随机变量概念解 ?? ??(1)由性质 f ( x , y )d x d y ? 1 得到 ? ??? ??? c 1 ?? x 1(2) P(X ? Y ) ? f (x, y)dxdy ? dx e?(x? y)dy ? ?? ?0 ?0 x? y 2 ?? ??(3) f (x) ? f (x, y)dy ? e?x? ydy ? e?x X ??? ?0 ?? ?? f (y) ? f (x, y)dx ? e?x? ydx ? e? y Y ??? ?0 一、二维连续型随机变量概念(4) f (x, y) ? ? x f X Y ( x y ) = fY (y) e
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