概率论第七章

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'概率论第七章'
第七章 参数估计 在上一章中我们曾经提到,数理统计的基本问题就是根据样本所提供的信息,对总体的分布或者分布的数字特征等作出统计推断的问题.本章所要探讨的是这样的一类问题,即总体所服从的分布类型是知道的,而它的某些参数却是未知的.对于这一类问题,要想确定总体的分布,关键是构造合理的方法将这些未知参数估计出来.例如,在很多场合中,电子元件的寿命是服从指数分布的,但是其参数却常常是未知的,因此,只要对参数作出了推断,自然的也就对总体分布作出了推断.这类问题称为参数估计问题.第一节 点估计(Point Estimation) 在获得未知参数的一个估计后,接下来的一个问题就是如何评价这个估计的好坏.由于统计推断的结果取决于抽得的样本,而样本是随机变量,因而推断的结果也是随机的.一个整体上看起来较好的推断方法,在个别情况下可以给出不好的结果.比如说,在对未来股市行情的预测中,整体说来专家的预测总是比瞎猜要好得多,但是在个别情况下,专家的结果却与实际情况大相径庭,反而有些瞎猜的人却猜对了.因此,评判估计的好坏的标准必须是整体性的,它取决于估计量的抽样分布及统计性质.因此,构造估计量的方法成了决定估计合理与否的一个重要前提. 那么,如何选取一个“合理”的估计量呢?下面我们将介绍两个最基本的方法——矩法和极大似然法. 二.矩法(The Method of Moments) 因此当样本容量n较大时可以用样本的r阶矩来作为总体的r阶矩的一个估计,这时所得到的估计就是矩法估计.2)近似替换,列出方程组有 ? 1 n ?g1 (?1 ,? 2 ,?,? k ) ? ? X i ? n i?1 n ? 1 2 ?g 2 (?1 ,? 2 ,?,? k ) ? ? X i ? n i?1 ? ?? ? n ? 1 k ?g k (?1 ,? 2 ,?,? k ) ? ? X i ? n i?1 矩法的优点是计算较简便,且当样本容量很大时,矩估计接近被估计参数真值的可能性很大.矩法的精髓是替换,即用样本矩替换总体矩,其优点是操作性强,但它也有一定的局限性,比如有时可以提供出不是唯一的估计量. n n ? 1 2 2 1 2 ?2 ? ? X i ? X ? ?(X i ? X ) n i?1 n i?1 ? 1 E(X 2 ) ? x 2 ? e ?(x?? ) /? dx ? ? 2 ? 2?? ? 2? 2 ?? ? ?? ?? ? X令 ? n ? 2 2 1 2 ?? ? 2?? ? 2? ? ? X i ? n i?1 n 1 2 2? ? X ? ? X i ? X n i?1 n ? 1 2 2 ? ? ? X i ? X n i?1 n 1 2 2 ?? ? X ? ? X i ? X n i?1二.最大似然法(The method of maximum likelihood) 最大似然法,也叫极大似然法,它最早是由 高斯所提出的,后来由英国统计学家费歇 (R·A·Fisher)于1912年在其一篇文章中重新提 出,并且证明了这个方法的一些性质.极大似然 估计这一名称也是费歇给的.它是建立在极大似 然原理的基础上的一个统计方法.为了对极大似 然原理有一个直观的认识,我们先来看一个例子. 例1 设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球1个黑球,乙箱有1个白球99个黑球.今随机地抽取一箱,然后再从这箱中任取一球,结果发现是白球.问这球是从哪一个箱子中取出的? 分析 导致结果是白球的原因有两个,一个是这球从甲箱取的,另一个就是这球从乙箱取的.如果是从甲箱取的,则取得白球的概率为99%;如果是从乙箱取的,则取得白球的概率为1%.由此看到,“这球是从甲箱中取出的”这一判断比“此球从乙箱中取出的”这一判断要合理得多,因此我们作出推断,这球是从甲箱取出的. 下面我们从极大似然原理出发,对连续型与离散型总体两种情形来阐述极大似然估计法的具体实现途径. 似然函数的直观意义 n nP{X 1 ? x1 , X 2 ? x2 ,?, X n ? xn } ? ? P{X ? xi } ? ? p(xi ;? ) i?1 i?1 L(??) ? max L(? ) ???则称 解 X的分布律为 ?x f (x;?) ? P{X ? x} ? e ?? , x ? 0,1,2,? x!似然函数为 n n n xi xi ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? i?1 n L( ) ? f (xi ; ) ? e n e i?1 i?1 xi! ? xi!取对数,有 i?1 n n ln L (? ) ? ? x i ln ? ? n? ? ln ? x i ! i ?1 i ?1令 d ln L(? ) 1 n ? ? xi ? n ? 0 d? ? i?1解得 ? 的极大似然估计值为 n ? 1 ? ? ? x i ? x n i ?1所以其极大似然估计量为 ?? ? X与矩估计法得到的结果一致。 例4 设总体 X 服从参数为 ? 的指数分布,试求 ? 的极大似然估计值. 解 设 x 1 , x 2 , ? , x n是一组样本观测值,则似然函数为 n ? ?? n ? ?e xi , x ? 0,i ?1, ,n ? ? ? ? ? i ? L( ) ? f (xi , ) ? i?1 i?1 ?? 0, else ? n ?? ? xi ? n i?1 ? ?? e , xi ? 0,i ? 1,?, n ?? 0, else所以,当xi ? 0(i ?1,?,n) 时, L(?) ? 0 ,取对数,得 n ln L(? ) ? n ln ? ? ? ? xi i ?1令 d ln L(?) n n ? ? ? xi ? 0 d? ? i?1 n 1解得? 的极大似然估计值为 ?? ? ? n x ? xi i?1 在本例中,如果n=12,样本观测值为 8,10,13,14,19,21,28,34,41,52 1 12则 ?? ? ? ? 0.04494 x 267 此时,如果总体 X 表示的是某种电子产品的寿命(单位:百小时),则该电子产品的寿命近似服从参数为0.04494的指数分布. 2 例5 设总体 X ~ N ( ? , ? ) , X 1 , ? , X n 是来自总体X的 2样本, x 1 , x 2 , ? , x n 是相应的样本观察值,求 ? , ? 的极大似然估计量. 解 似然函数为 ( x ? ? ) 2 n ? ? i ? 1 2 L(? ,? 2 ) ? ? e 2? ? ? ? ? i ?1 ? 2? ? ? n n 1 2 ? ( xi ? ? ) ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? n ? e 2 i?1 ? 2? ?取对数得 1 n n ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? lnL( , )
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