信号与系统教案第2章·西安电子科技大学

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第二章 连续系统的时域分析2.1 LTI连续系统的响应 2.3 卷积积分 一、微分方程的经典解 一、信号时域分解与卷积 二、关于0-和0+初始值 二、卷积的图解 三、零输入响应和零状态响应 2.4 卷积积分的性质2.2 冲激响应和阶跃响应 一、卷积代数 一、冲激响应 二、奇异函数的卷积特性 二、阶跃响应 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性点击目录 ,进入相关章节 2.1 LTI连续系统的响应 第二章 连续系统的时域分析 LTI连续系统的时域分析,归结为:建立并求解线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t,故称为时域分析法。这种方法比较直观,物理概念清楚,是学习各种变换域分析法的基础。 2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解 (n) (n-1) (1) y (t) + an-1y (t) + …+ a1y (t) + a0y (t) (m) (m-1) (1) = bmf (t) + bm-1f (t) + …+ b1f (t) + b0f (t) 2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解: y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解)齐次解是齐次微分方程 (n) (n-1) (1) y +an-1y +…+a1y (t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励 f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应; 特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y’(0)= -1时的全解; (2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y’(0)=0时的全解。 2.1 LTI连续系统的响应 2 解: (1) 特征方程为λ + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2,λ2= – 3。齐次解为 – 2t – 3t yh(t) = C1e + C2e 由表2-2可知,当f(t) = 2e – t时,其特解可设为 – t yp(t) = Pe 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 – t于是特解为 yp(t) = e – 2t – 3t – t全解为: y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e + C2e + e 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ,C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 2.1 LTI连续系统的响应(2)齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时,其指数与特征根之一相重。由表知:其特解为 –2t yp(t) = (P1t + P0)e -2t –2t 代入微分方程可得 P1e = e所以 P1= 1 但P0不能求得。全解为 –2t –3t –2t –2ty(t)= C1e + C2e + te + P0e –2t –3t –2t = (C1+P0)e +C2e + te将初始条件代入,得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ,y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0上式第一项的系数C1+P0= 2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI连续系统的响应二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统,则确定待定系数Ci (j)时用t = 0+时刻的初始值,即y (0+) (j=0,1,2…,n-1)。 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用,不便于描述系统的历史信息。 在t=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。 通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程,就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。 2.1 LTI连续系统的响应 例:描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2,y’(0-)= 0,f(t)=ε(t),求y(0+)和y’(0+)。 解:将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) (1)利用系数匹配法分析:上式对于t=0-也成立,在0-<t<0+区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t),故y”(t)应包含冲激函数,从而y’(t)在t= 0处将发生跃变,即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数,否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t),故y(t)在t=0处是连续的。故 y(0+) = y(0-) = 2 2.1 LTI连续系统的响应 对式(1)两端积分有 0? 0? 0? 0? 0? y''(t)dt ? 3 y'(t)dt ? 2 y(t)dt ? 2 ? (t)dt ? 6 ?(t)dt ?0? ?0? ?0? ?0? ?0?由于积分在无穷小区间[0-,0+]进行的,且y(t)在t=0连续,故 0? 0? y(t)dt ? 0, ?(t)dt ? 0 ?0? ?0?于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2考虑 y(0+) = y(0-)=2 ,所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 , y’(0+) = y’(0-) + 2 =2由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各阶导数)时,响应y(t)及其各阶导数中,有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时,则不会跃变。 2.1 LTI连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分别用经典法求解。注意:对t=0时接入激励f(t)的系统,初始值 (j) (j) yx (0+), yf (0+) (j = 0,1,2,…,n-1)的计算。 (j) (j) (j) y (0-)= yx (0-)+ yf (0-) (j) (j) (j) y (0+)= yx (0+)+ yf (0+)对于零输入响应,由于激励为零,故有 (j) (j) (j) yx (0+)= yx (0-) = y (0-)对于零状态响应,在t=0-时刻激励尚未接入,故应有 (j) yf (0-)=0 (j)yf (0+)的求法下面举例说明。 2.1 LTI连续系统的响应例:描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)已知y(0-)=2,y’(0-)=0,f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。 解:(1)零输入响应yx(t) 激励为0 ,故yx(t)满足 yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0该齐次方程的特征根为–1, – 2,故 –t –2t yx(t) = Cx1e + Cx2e 代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ,代入得 –t –2t yx(t) = 4e – 2e ,t > 0 2.1 LTI连续系统的响应(2)零状态响应yf(t) 满足 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有 yf(0-) = yf’(0-) = 0由于上式等号右端含有δ(t),故yf”(t)含有δ(t),从而yf’(t)跃变,即yf’(0+)≠yf’(0-),而yf(t)在t = 0连续,即y (0+) = y (0-) = 0,积分得 f f 0? 0? ’ ’ y f (t)dt ? 2 ? 6 ?(t)dt [yf (0+)- yf (0-)]+ 3[yf(0+)- yf(0-)]?+0?2 ?0?因此,yf’(0+)= 2 – yf’(0-)=2 对t>0时,有
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