差分方程-----------

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1. 一个半球状雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状,初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8,问雪堆全部融化还需要多长时间? 差分方程初步 第一节 差分方程的基本概念一、 差分的概念定义1 设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t).依此定义类推,有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2), ………………一阶差分的性质 (1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0; (2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt.定义2 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即 2 D yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt.依此定义类推,有 2 D yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, 2 D yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 3 2 2 D yt= D yt+1- D yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, 3 2 2 D yt+1= D yt+2- D yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ……………… 一般地,k阶差分(k为正整数)定义为 k k -1 D yt = D(D yt ) k -1 k -1 = D yt +1 - D yt k i i = ? (-1) C k yt +k -i (k = 1,2,3,?) i=0这里 k! C i = k i!(k - i)!二、 差分方程定义 含有未知函数 = 以及 的差分D D2 的 3 yt f(t) yt yt, yt,…函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式为 n F(t,yt, Dyt,…, D yt)=0, n n其中F是t,yt, Dyt,…, D yt的已知函数,且D yt一定要在方程中出现. 定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0, 其中F为t,yt,yt+1,…,yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现.三、 差分方程的解定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0,使其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解 =j yt (t,C1,C2,…,Cn)称 为 n 阶 差 分 方 程 的 通 解 . 在 通 解 中 给 任 意 常 数C1,C2,…,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解. 例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,…均是这个差分方程的特解. 由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件.n阶差分方程F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0常见的定解条件为初始条件. y0=a0, y1=a1,…,yn-1=an-1,这里a0,a1,a2,…,an-1均为已知常数. 只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0与方程 ayt+2-byt+1=0都是相互等价的. 四、 线性差分方程及其基本定理 形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t) 的 差 分 方 程 , 称 为 n 阶 非 齐 次 线 性 差 分 方 程 . 其 中a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)≠0,f(t)≠0.而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的 差 分 方 程 , 称 为 n 阶 齐 次 线 性 差 分 方 程 . 其 中ai(t)(i=1,2,…,n)为t的已知函数,且an(t)≠0. 如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有 + + + + + = , yt+n a1yt+n-1 a2yt+n-2 … an-1yt+1 anyt f(t) + + + + + = . yt+n a1yt+n-1 a2yt+n-2 … an-1yt+1 anyt 0 分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程. 定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理) 若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齐次线性差分方程 + + + + + = 的 个特解yt+n a1yt+n-1 a2yt+n-2 … an-1yt+1 anyt 0 m (m≥2),则其线性组合 = + + + 也是方程 y(t) A1y1(t) A2y2(t) … Amym(t)的解,其中A1,A2,…,Am为任意常数.定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 + + + = 一定存在 个线性无关的特解. … an-1yt+1 anyt 0 n定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如果y 1 (t),y 2 (t),…,y n (t)是齐次线性差分方程 + + + + + = 的 个线性无关yt+n a1yt+n-1 a2yt+n-2 … an-1yt+1 anyt 0 n的特解,则方程的通解为: yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t), 其中A1,A2,…,An为n个任意(独立)常数. 定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理) 如果 y (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐次线性方程 + + + + + = 的通解 yt+n a1yt+n-1 a2yt+n-2 … an-1yt+1 anyt 0 ,那么,非齐次线性差分方程的通解为: y(t)=yA(t)+ y (t) 即 y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ y (t),这里A1,A2,…,An为n个任意(独立)常数. 第二节 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中f(t)为t的已知函数,a≠0为常数.分别称为一阶常系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.一、 齐次差分方程的通解将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt, t=0,1,2,….假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代,算得 y1=-ay0=-aA, 2 y2=-ay1=(-a) A, ……………… t方程的通解为yt =A(-a) , t=0,1,2,….如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为: t yt =y0(-a) . 二、 非齐次方程的通解与特解1. 迭代法求通解 将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,….逐步迭代,则有 y1=(-a)y0+f(0), 2 y2=(-a) y0+(-a)f(0)+f(1), 3 2 y3=(-a) y0+(-a) f(0)+(-a)f(1)+f(2), ……………… 由数学归纳法,可得 t t-1f t-2f yt=(-a) y0+(-a) (0)+(-a) (1)+…+f(t-1) t =(-a) y0+ y t , (t=0,1,2,…), t -1 t -2 其中 yt = (-a) f (0) + (-a) f (
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