高中数学第1章不等关系与基本不等式3平均值不等式第2课时运用平均值不等式求最大(小)值学案北师大版

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1、第2课时 运用平均值不等式求最大(小)值学习目标:1.能利用平均值不等式求简单的最大(小)值.(重点)2.掌握建立不等式模型,解决实际问题中的最值.(难点)教材整理 两个重要结论阅读教材P10~P14,完成下列问题.1.已知x,y为正数,x+y=S,xy=P,则(1)如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S取得最小值2;(2)如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P取得最大值.2.若a,b,c均为正数,(1)如果a+b+c是定值S,那么a=b=c时,积abc有最大值;(2)如果积abc是定值P,那么当a=b=c时,和a+b+c有最

2、小值.填空:(1)若x>0时,+x的最小值是________.(2)当取得最小值时,x取________.[解析] (1)x>0时,x+≥2,故最小值为2.(2)=+≥2,这时x=0.[答案] (1)2 (2)0利用平均值不等式求最大(小)值【例1】 设x,y,z均是正数,x-2y+3z=0,则的最小值为__________.[精彩点拨] 由条件消去y,然后利用平均值不等式求最小值.[自主解答] 由x-2y+3z=0,得y=,∴==≥=3.当且仅当x=y=3z时,取得最小值3.[答案] 3本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函

3、数中的y,通过对目标函数的变形,转化为考生所熟悉的能使用基本不等式求最值的问题.1.函数y=(x>-1)的最大值是______.[解析] y==.∵x>-1,∴x+1>0.因此x+1+≥2,x+1++3≥3+2.当且仅当x+1=,x=-1时等号成立.∴00,y>0,且+=1,求x+y的最小值.[精彩点拨] 本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力.解答此题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要

4、的变形,再用平均值不等式求得和的最小值.[自主解答] 法一:∵x>0,y>0,+=1,∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16.当且仅当=,又+=1,即x=4,y=12时,上式取等号.故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.法二:由+=1,得(x-1)(y-9)=9(定值),可知x>1,y>9,而x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=16.所以当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时,上式取等号.故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.利用平均值不等式求最值,一般按以下三步进行:(1)首

5、先,看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;(2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取“-1”变为同正;(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.切记利用平均值不等式求最值时的三个条件:“一正二定三相等”必须同时满足,函数方可取得最值,否则不可以.2.已知x>0,y>0,且x+2y=1,求+的最小值.[解] ∵x,y∈(0,+∞),x+2y=1,∴+=+=1+++2≥3+2.当=,即x=y,也就是y==1-

6、,x=-1时等号成立,故+的最小值为3+2.用平均值不等式求解应用题[探究问题]解不等式实际应用题的解题思路是怎样的?[提示] 解不等式实际应用题的解题思路【例3】 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?[精彩点拨] →→[自主解答] 法一:设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.①广告的高为a+20,宽为2b+

7、25,其中a>0,b>0.广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2=24500.当且仅当25a=40b时等号成立,此时b=a,代入①式得a=120,从而b=75.即当a=120,b=75时,S取得最小值24500cm2.故广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小,最小值为24500cm2.法二:设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为x-20,,其中x>20,y>25,两栏的面积之和为2(x-20)·=

8、18000,由此得y=+25.广告的面积S=xy=x=·x+25x,整理得S=+25(x-20)+18500,因为x-20>0,所以S≥2+18500=24500.当且仅当=25(x-20)时等号成立,此时有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=+2

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