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《2013年高三一轮复习——周期性与幂函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一.幂函数的定义1.一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．2.掌握5个幂函数的图像特点2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）当a>0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限3.所涉及的幂函数中限于在集合中取值幂函数有如下性质：⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；⑶幂函数都是无界函数；在第一象限中，
2、当时为减函数，当时为增函数；⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；4.幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函
3、数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．二.周期性1.定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；2.性质：①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x
4、)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为③周期函数的性质：若是的周期，则也是的周期。④常见结论：（1）最小正周期是；（2）最小正周期是；（3）最小正周期是。例1．(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则().A.B.C.D.解析因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,,,又因为在R上是奇函数，,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.例2．已知函数满足，且当时，，则与的图象的交点个数为（）A、2B、3C、4D、5yxO1-11
5、5解析：由知函数的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1;当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，log5x>1,与的图象不再有交点，故选C[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)=-f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则f()=.例3已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为（A）6B）7C）8D）9解令f（x）=x3-x=0，即x(x+1)(x-1)=0,
6、所以x=0,1,-1，因为0≤x＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x轴的交点个数为2，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x＜4，4≤x＜6也分别有两个零点，由f（6）=f（4）=f（2）=f（0），所以f（6）也是函数的零点，所以函数y=f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为6个.1．(2011·北京海淀区)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，若f(2)>1，f(3)＝a，则( )A．a<－3B．a>3C．a<－1D．a>12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意
7、的x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.3．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是__________．4．(2011·山东潍坊)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)，其中正确
8、的序号是________．5．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )A．y＝ex－e－x B．y＝lgC．y＝cos2xD．y＝sinx＋cosx6．(2011·山东临沂)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)
9、f
