2015届重庆中考数学(12,18,24,25,26题)训练(11)

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12已知点(1,3)在函数的图像上。正方形的边在轴上,点是对角线的中点,函数的图像又经过、两点,则点的横坐标为__________18题图18、如图,在中,2AB=3AC,AD为BAC的角平分线,点H在线段AC上,且CH=2AH,E为BC延长线上的一点,连接EH并延长交AD于点G,使EG=ED,过点E作 EFAD于点F,则= .26.(2014?四川内江,第28题,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.(1)求抛物线的解析式;(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由.考点:二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;平行线的性质;等腰三角形的判定;相似三角形的判定与性质.专题:压轴题;存在型.分析:(1)如图1,易证BC=AC,从而得到点B的坐标,然后运用待定系数法求出二次函数的解析式.(2)如图2,运用待定系数法求出直线AB的解析式.设点P的横坐标为t,从而可以用t的代数式表示出PQ的长,然后利用二次函数的最值性质就可解决问题.(3)由于AB为直角边,分别以∠BAM=90°(如图3)和∠ABM=90°(如图4)进行讨论,通过三角形相似建立等量关系,就可以求出点M的坐标.解答:解:(1)如图1,∵A(﹣3,0),C(0,4),∴OA=3,OC=4.∵∠AOC=90°,∴AC=5.∵BC∥AO,AB平分∠CAO,∴∠CBA=∠BAO=∠CAB.∴BC=AC.∴BC=5.∵BC∥AO,BC=5,OC=4,∴点B的坐标为(5,4).∵A(﹣3.0)、C(0,4)、B(5,4)在抛物线y=ax2+bx+c上,∴解得:∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4.(2)如图2,设直线AB的解析式为y=mx+n,∵A(﹣3.0)、B(5,4)在直线AB上,∴解得:∴直线AB的解析式为y=x+.设点P的横坐标为t(﹣3≤t≤5),则点Q的横坐标也为t.∴yP=t+,yQ=﹣t2+t+4.∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣(t+)=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣(t2﹣2t﹣15)=﹣ [(t﹣1)2﹣16]=﹣(t﹣1)2+.∵﹣<0,﹣3≤1≤5,∴当t=1时,PQ取到最大值,最大值为.∴线段PQ的最大值为.(3)①当∠BAM=90°时,如图3所示.抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=.∴xH=xG=xM=.∴yG=×+=.∴GH=.∵∠GHA=∠GAM=90°,∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM.∵∠AHG=∠MHA=90°,∠MAH=∠AGM,∴△AHG∽△MHA.∴.∴=.解得:MH=11.∴点M的坐标为(,﹣11).②当∠ABM=90°时,如图4所示.∵∠BDG=90°,BD=5﹣=,DG=4﹣=,∴BG===.同理:AG=.∵∠AGH=∠MGB,∠AHG=∠MBG=90°,∴△AGH∽△MGB.∴=.∴=.解得:MG=.∴MH=MG+GH=+=9.∴点M的坐标为(,9).综上所述:符合要求的点M的坐标为(,9)和(,﹣11).点评:本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值等知识,考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式,考查了分类讨论的思想,综合性比较强.26、如图1,在□ABCD中,AH⊥DC,垂足为H,AB=,AD=7,AH=。现有两个动点E、F同时从点A出发,分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动。在点E、F运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG与△ABC在射线AC的同侧,当点E运动到点C时,E、F两点同时停止运动。设运转时间为t秒。(1)求线段AC的长;(2)在整个运动过程中,设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围;(3)当等边△EFG的顶点E到达点C时,如图2,将△EFG绕着点C旋转一个角度。在旋转过程中,点E与点C重合,F的对应点为F′,G的对应点为G′。设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M、N两点。试问:是否存在点M、N,使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形?若存在,请求出线段CM的长度;若不存在,请说明理由。6
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